Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 9 Прямые суммы и прямые дополнения 95
Ее вы будете изучать в курсе дискретной математики. Познако-
миться с ней можно по любому учебнику комбинаторики или, ска-
жем, по очень занимательной "детской" книжке: Виленкин Н. Я.
Комбинаторика. М.: Наука, 1969.
В нашем основном задачнике по алгебре [4] эта формула фигури-
рует в качестве одного из начальных упражнений (см. задачу 103).
После знакомства с (обобщенным) комбинаторным аналогом фор-
мулы Грассмана вам наверняка захочется обобщить и самое эту фор-
мулу, т. е. вычислить размерность dim(
P
n
i=1
W
i
) суммы нескольких
конечномерных подпространств.
Есть еще и геометрические аналоги формулы включений и исклю-
чений. Например, для двух пересекающихся плоских фигур, A
1
и
A
2
, справедлива следующая формула для площади объединения:
S(A
1
∪ A
2
) = S(A
1
) + S(A
2
) − S(A
1
∩ A
2
).
Эта формула сохраняет силу для трехмерных объемов (и других
геометрических мер) и также допускает обобщение на случай про-
извольного числа фигур (тел, множеств и т. п.).
§
§
§ 9. Прямые суммы и прямые дополнения
9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств.
Критерий прямизны. Согласно определению 8.1, сумма
W =
s
X
i=1
W
i
(9.1)
линейных подпространств W
i
6 V (i = 1, ..., s) состоит из тех и
только тех векторов x в линейном пространстве V , которые пред-
ставляются в виде
x =
s
X
i=1
y
i
, (9.2)
где y
i
∈ W
i
. Ниже определяется частный случай этого понятия —
прямая сумма линейных подпространств.
Определение 9.1. Сумма (9.1) называется внутренней прямой
суммой линейных подпространств, если для любого вектора x ∈ W
§9           Прямые суммы и прямые дополнения                  95

Ее вы будете изучать в курсе дискретной математики. Познако-
миться с ней можно по любому учебнику комбинаторики или, ска-
жем, по очень занимательной "детской" книжке: Виленкин Н. Я.
Комбинаторика. М.: Наука, 1969.
   В нашем основном задачнике по алгебре [4] эта формула фигури-
рует в качестве одного из начальных упражнений (см. задачу 103).
   После знакомства с (обобщенным) комбинаторным аналогом фор-
мулы Грассмана вам наверняка захочетсяPобобщить   и самое эту фор-
                                        n
мулу, т. е. вычислить размерность dim( i=1 Wi ) суммы нескольких
конечномерных подпространств.
   Есть еще и геометрические аналоги формулы включений и исклю-
чений. Например, для двух пересекающихся плоских фигур, A1 и
A2 , справедлива следующая формула для площади объединения:

            S(A1 ∪ A2 ) = S(A1 ) + S(A2 ) − S(A1 ∩ A2 ).

   Эта формула сохраняет силу для трехмерных объемов (и других
геометрических мер) и также допускает обобщение на случай про-
извольного числа фигур (тел, множеств и т. п.).



     § 9. Прямые суммы и прямые дополнения

 9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств.
Критерий прямизны. Согласно определению 8.1, сумма
                                 s
                                 X
                           W =         Wi                    (9.1)
                                 i=1


линейных подпространств Wi 6 V (i = 1, ..., s) состоит из тех и
только тех векторов x в линейном пространстве V , которые пред-
ставляются в виде
                              Xs
                           x=    yi ,                      (9.2)
                                 i=1

где yi ∈ Wi . Ниже определяется частный случай этого понятия —
прямая сумма линейных подпространств.
  Определение 9.1. Сумма (9.1) называется внутренней прямой
суммой линейных подпространств, если для любого вектора x ∈ W

Страницы