Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Сумма и пересечение подпространств 93
Остается проверить линейную независимость последней с.в. Рас-
смотрим линейную комбинацию с нулевым значеним:
λ
1
b
1
+...+λ
m
b
m
+µ
1
g
1
+...+µ
k−m
g
l−m
+ν
1
h
1
+...+ν
l−m
h
l−m
= 0. (8.7)
Докажем, что обращаются в нуль все ее коэффициенты
λ
1
, ... , λ
m
, µ
1
, ... , µ
k− m
, ν
1
, ... , ν
l−m
∈ P.
Перенесем в формуле (8.7) в правую часть слагаемые из третьей
группы:
λ
1
b
1
+...+λ
m
b
m
+µ
1
g
1
+...+µ
k −m
g
k−m
= −ν
1
h
1
−...−ν
l−m
h
l−m
. (8.8)
Обозначим буквой u вектор, являющийся общим значением левой
и правой частей равенства (8.8). Этот вектор, в силу своего "левого"
представления, принадлежит подпространству W
1
, а, в силу "право-
го", — подпространству W
2
. Значит, он принадлежит пересечению
W
0
и его можно разложить по базису (8.4):
u = α
1
b
1
+ ... + α
m
b
m
(α
1
, ..., α
m
∈ P ). (8.9)
Приравняем выражение (8.9) к правой части (8.8) и перенесем в
полученном равенстве все члены в левую часть. Будем иметь:
α
1
b
1
+ ... + α
m
b
m
+ ν
1
h
1
+ ... + ν
l−m
h
l−m
= 0. (8.10)
В равенстве (8.10) фигурирует линейная комбинация с нулевым
значением для базиса B
2
. Значит, должны равняться нулю все ее
коэффициенты:
α
1
= ... = α
m
= ν
1
= ... = ν
l−m
= 0.
Как следствие, получаем равенство нулю вектора u, а значит и
левой части (8.8):
λ
1
b
1
+ ... + λ
m
b
m
+ µ
1
g
1
+ ... + µ
k− m
g
k −m
= 0. (8.11)
Снова имеем линейную комбинацию с нулевым значением, теперь
уже — для базиса B
1
. Как и выше, приходим к равенству нулю ко-
эффициентов:
λ
1
= ... = λ
m
= µ
1
= ... = µ
k− m
= 0.
§8             Сумма и пересечение подпространств                          93

  Остается проверить линейную независимость последней с.в. Рас-
смотрим линейную комбинацию с нулевым значеним:

 λ1 b1 +...+λm bm +µ1 g1 +...+µk−m gl−m +ν1 h1 +...+νl−m hl−m = 0. (8.7)

     Докажем, что обращаются в нуль все ее коэффициенты

                λ1 , ... , λm , µ1 , ... , µk−m , ν1 , ... , νl−m ∈ P.

  Перенесем в формуле (8.7) в правую часть слагаемые из третьей
группы:

 λ1 b1 +...+λm bm +µ1 g1 +...+µk−m gk−m = −ν1 h1 −...−νl−m hl−m . (8.8)

   Обозначим буквой u вектор, являющийся общим значением левой
и правой частей равенства (8.8). Этот вектор, в силу своего "левого"
представления, принадлежит подпространству W1 , а, в силу "право-
го", — подпространству W2 . Значит, он принадлежит пересечению
W0 и его можно разложить по базису (8.4):

                u = α1 b1 + ... + αm bm (α1 , ..., αm ∈ P ).              (8.9)

  Приравняем выражение (8.9) к правой части (8.8) и перенесем в
полученном равенстве все члены в левую часть. Будем иметь:

            α1 b1 + ... + αm bm + ν1 h1 + ... + νl−m hl−m = 0.           (8.10)

  В равенстве (8.10) фигурирует линейная комбинация с нулевым
значением для базиса B2 . Значит, должны равняться нулю все ее
коэффициенты:

                  α1 = ... = αm = ν1 = ... = νl−m = 0.

  Как следствие, получаем равенство нулю вектора u, а значит и
левой части (8.8):

            λ1 b1 + ... + λm bm + µ1 g1 + ... + µk−m gk−m = 0.           (8.11)

  Снова имеем линейную комбинацию с нулевым значением, теперь
уже — для базиса B1 . Как и выше, приходим к равенству нулю ко-
эффициентов:

                  λ1 = ... = λm = µ1 = ... = µk−m = 0.

Страницы