Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Сумма и пересечение подпространств 91
И в этом случае W состоит из конечных сумм векторов, каждый
из которых принадлежит какому-либо одному из подпространств-
слагаемых. Остается справедливым утверждение о том, что W яв-
ляется наименьшим из подпространств, содержащих все W
ι
.
Кстати, с учетом предложения 2.1а, это заключение можно вы-
сказать в следующих равносильных формах:
— сумма семейства подпространств равна пересечению всех под-
пространств, содержащих все подпространства, входящие в семей-
ство;
— сумма равняется линейной оболочке объединения данных под-
пространств.
8.2. Сумма и пересечение конечномерных линейных под-
пространств. Формула Грассмана. Если линейное простран-
ство V конечномерно, то, в соответствии с предложением 5.3, конеч-
номерными будут и все линейные подпространства в V, причем, по
свойству монотонности размерности (см. предложение 5.6), размер-
ности подпространств не превышают размерность всего простран-
ства.
В произвольном линейном пространстве (может быть, бесконечно-
мерном) также можно (и нужно) рассматривать конечномерные под-
пространства. Совершенно очевидно, что пересечение W
0
= W
1
∩W
2
двух конечномерных подпространств W
1
, W
2
6 V является конечно-
мерным подпространством (поскольку оно содержится в каждом из
данных).
Но конечномерной будет и сумма W
3
= W
1
+ W
2
двух конечно-
мерных подпространств. В самом деле, конечную порождающую
с.в. для суммы можно получить объединением (конкатенацией) ко-
нечных порождающих систем для каждого из слагаемых. Так что,
размерность суммы не будет превышать сумму размерностей слагае-
мых. Ниже будет доказана точная формула для размерности суммы
двух конечномерных подпространств.
Теорема 8.1 (теорема Грассмана). Пусть V — линейное про-
странство над полем P , W
1
и W
2
— два конечномерных линейных
подпространства в пространстве V. Тогда сумма W
1
+ W
2
также яв-
ляется конечномерным подпространством в V и для ее размерности
справедливо следующее соотношение:
dim(W
1
+ W
2
) = dim(W
1
) + dim(W
2
) − dim(W
1
∩ W
2
). (8.2)
§8           Сумма и пересечение подпространств                91

   И в этом случае W состоит из конечных сумм векторов, каждый
из которых принадлежит какому-либо одному из подпространств-
слагаемых. Остается справедливым утверждение о том, что W яв-
ляется наименьшим из подпространств, содержащих все Wι .
   Кстати, с учетом предложения 2.1а, это заключение можно вы-
сказать в следующих равносильных формах:
   — сумма семейства подпространств равна пересечению всех под-
пространств, содержащих все подпространства, входящие в семей-
ство;
   — сумма равняется линейной оболочке объединения данных под-
пространств.
   8.2. Сумма и пересечение конечномерных линейных под-
пространств. Формула Грассмана. Если линейное простран-
ство V конечномерно, то, в соответствии с предложением 5.3, конеч-
номерными будут и все линейные подпространства в V, причем, по
свойству монотонности размерности (см. предложение 5.6), размер-
ности подпространств не превышают размерность всего простран-
ства.
   В произвольном линейном пространстве (может быть, бесконечно-
мерном) также можно (и нужно) рассматривать конечномерные под-
пространства. Совершенно очевидно, что пересечение W0 = W1 ∩ W2
двух конечномерных подпространств W1 , W2 6 V является конечно-
мерным подпространством (поскольку оно содержится в каждом из
данных).
   Но конечномерной будет и сумма W3 = W1 + W2 двух конечно-
мерных подпространств. В самом деле, конечную порождающую
с.в. для суммы можно получить объединением (конкатенацией) ко-
нечных порождающих систем для каждого из слагаемых. Так что,
размерность суммы не будет превышать сумму размерностей слагае-
мых. Ниже будет доказана точная формула для размерности суммы
двух конечномерных подпространств.

  Теорема 8.1 (теорема Грассмана). Пусть V — линейное про-
странство над полем P , W1 и W2 — два конечномерных линейных
подпространства в пространстве V. Тогда сумма W1 + W2 также яв-
ляется конечномерным подпространством в V и для ее размерности
справедливо следующее соотношение:
     dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 ).    (8.2)

Страницы