Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 8 Сумма и пересечение подпространств 89
Определение 8.1. Пусть {W
i
}
s
i=1
— конечное семейство линей-
ных подпространств в линейном пространстве V. Сумма этих под-
пространств определяется как следующее подмножество
W
1
+ W
2
+ ... + W
s
= {y
1
+ y
2
+ ... + y
s
: y
i
∈ W
i
(i = 1, ..., s) } (8.1)
в пространстве V.
Для суммы (8.1) используется также обозначение
P
s
i=1
W
i
.
Предложение 8.1. Сумма W =
P
s
i=1
W
i
линейных подпрост-
ранств W
i
6 V (i = 1, ..., s) сама является линейным подпростран-
ством: W 6 V, причем это подпространство является наименьшим из
подпространств в V, содержащих все подпространства-слагаемые.
Доказательство. Тот факт, что W действительно является под-
пространством практически очевиден: взяв два произвольных век-
тора
x = y
1
+ y
2
+ ... + y
s
, x
0
= y
0
1
+ y
0
2
+ ... + y
0
s
из подмножества W (y
i
, y
0
i
∈ W
i
; i = 1, ..., s) и произвольный скаляр
λ ∈ P, мы легко убеждаемся, что векторы
x+x
0
= (y
1
+y
0
1
)+(y
2
+y
0
2
)+...+(y
s
+y
0
s
), λx = (λy
1
)+(λy
2
)+...+(λy
s
)
также принадлежат W.
Очевидны также включения W
i
⊆ W. Остается установить, что W
является наименьшим из подпространств, содержащих все W
i
, т. е.
доказать, что W содержится в любом линейном подпространстве W
0
,
содержащем W
i
(i = 1, ..., s).
Но и это не вызывает затруднений, поскольку если подпростран-
ство W
0
содержит произвольные векторы y
i
из W
i
, то оно обязано
содержать и всевозможные суммы вида y
1
+ y
2
+ ... + y
s
. Значит, W
0
содержит все векторы из W. ¤
Замечание 8.1. Законы коммутативности и ассоциативности для
сложения векторов переносятся, разумеется, на сложение (непустых)
подмножеств в линейном пространстве, в частности, — на сложе-
ние линейных подпространств. Именно поэтому мы, не беспокоясь
ни о каких скобках и не заботясь о порядке слагаемых, сразу вве-
ли понятие суммы для нескольких подпространств. Однако, дру-
гие свойства сложения подпространств все же серьезно отличаются
§8             Сумма и пересечение подпространств                       89

  Определение 8.1. Пусть {Wi }si=1 — конечное семейство линей-
ных подпространств в линейном пространстве V. Сумма этих под-
пространств определяется как следующее подмножество

 W1 + W2 + ... + Ws = { y1 + y2 + ... + ys : yi ∈ Wi (i = 1, ..., s) } (8.1)

в пространстве V.
                                                     Ps
   Для суммы (8.1) используется также обозначение i=1 Wi .
                                      Ps
   Предложение 8.1. Сумма W =            i=1 Wi линейных подпрост-
ранств Wi 6 V (i = 1, ..., s) сама является линейным подпростран-
ством: W 6 V, причем это подпространство является наименьшим из
подпространств в V, содержащих все подпространства-слагаемые.
  Доказательство. Тот факт, что W действительно является под-
пространством практически очевиден: взяв два произвольных век-
тора
            x = y1 + y2 + ... + ys , x0 = y10 + y20 + ... + ys0
из подмножества W (yi , yi0 ∈ Wi ; i = 1, ..., s) и произвольный скаляр
λ ∈ P, мы легко убеждаемся, что векторы

x+x0 = (y1 +y10 )+(y2 +y20 )+...+(ys +ys0 ), λx = (λy1 )+(λy2 )+...+(λys )

также принадлежат W.
   Очевидны также включения Wi ⊆ W. Остается установить, что W
является наименьшим из подпространств, содержащих все Wi , т. е.
доказать, что W содержится в любом линейном подпространстве W 0 ,
содержащем Wi (i = 1, ..., s).
   Но и это не вызывает затруднений, поскольку если подпростран-
ство W 0 содержит произвольные векторы yi из Wi , то оно обязано
содержать и всевозможные суммы вида y1 + y2 + ... + ys . Значит, W 0
содержит все векторы из W. ¤

  Замечание 8.1. Законы коммутативности и ассоциативности для
сложения векторов переносятся, разумеется, на сложение (непустых)
подмножеств в линейном пространстве, в частности, — на сложе-
ние линейных подпространств. Именно поэтому мы, не беспокоясь
ни о каких скобках и не заботясь о порядке слагаемых, сразу вве-
ли понятие суммы для нескольких подпространств. Однако, дру-
гие свойства сложения подпространств все же серьезно отличаются

Страницы