Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

90 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
от свойств сложения векторов. Скажем, если одно из двух подпро-
странств содержится в другом: W
1
6 W
2
, то сумма этих подпро-
странств совпадает с б´ольшим из них: W
1
+W
2
= W
2
. В самом деле,
всякий элемент x ∈ W
1
+ W
2
имеет, по определению, вид x = y
1
+ y
2
,
где y
2
∈ W
2
и y
1
тоже принадлежит (в силу включения) W
2
, а зна-
чит и x ∈ W
2
. Очевидно, верно и обратное: равенство W
1
+W
2
= W
2
влечет включение W
1
6 W
2
.
Так что, имеем эквивалентность:
[ W
1
6 W
2
] ⇔ [ W
1
+ W
2
= W
2
],
которая, кстати, является аналогом другой, совершенно очевидной
эквивалентности:
[ W
1
6 W
2
] ⇔ [ W
1
∩ W
2
= W
1
].
Замечание 8.2. Приведем важную для дальнейшего диаграмму
включений, демонстрирующую все обязательные включения между
следующими подпространствами в пространстве V :
— тривиальные подпространства O и V ;
— произвольные подпространства W
1
и W
2
;
— их сумма W
3
= W
1
+ W
2
и пересечение W
0
= W
1
∩ W
2
.
Диаграмма 8.1
W
1
6
% &
6
O
6
−→ W
0
W
3
6
−→ V
6
& %
6
W
2
В диаграмме 8.1 стрелки со знаками неравенства обозначают (ли-
нейные) отображения вложения, сопоставляющие каждому векто-
ру из некоторого подпространства этот же самый вектор, но рас-
сматриваемый в некотором другом, более широком подпространстве.
Любопытно, что если какая-либо из "сторон ромба" тривиализуется
(превращается в равенство), то тривиализуется и противоположная
сторона. (Это следует из замечания 8.1.)
Замечание 8.3.
∗
В бесконечномерной линейной алгебре вводится
определение для суммы
P
ι∈I
W
i
произвольного (может быть, беско-
нечного) семейства W = {W
ι
}
ι∈I
линейных подпространств.
90     Линейные пространства. Базисы и размерности                Гл. 1

от свойств сложения векторов. Скажем, если одно из двух подпро-
странств содержится в другом: W1 6 W2 , то сумма этих подпро-
странств совпадает с бо́льшим из них: W1 + W2 = W2 . В самом деле,
всякий элемент x ∈ W1 + W2 имеет, по определению, вид x = y1 + y2 ,
где y2 ∈ W2 и y1 тоже принадлежит (в силу включения) W2 , а зна-
чит и x ∈ W2 . Очевидно, верно и обратное: равенство W1 + W2 = W2
влечет включение W1 6 W2 .
   Так что, имеем эквивалентность:

                    [ W1 6 W2 ] ⇔ [ W1 + W2 = W2 ],

которая, кстати, является аналогом другой, совершенно очевидной
эквивалентности:

                    [ W1 6 W2 ] ⇔ [ W1 ∩ W2 = W1 ].

  Замечание 8.2. Приведем важную для дальнейшего диаграмму
включений, демонстрирующую все обязательные включения между
следующими подпространствами в пространстве V :
  — тривиальные подпространства O и V ;
  — произвольные подпространства W1 и W2 ;
  — их сумма W3 = W1 + W2 и пересечение W0 = W1 ∩ W2 .

                                                          Диаграмма 8.1

                                    W1
                            6%           &6
                6                                     6
           O   −→ W0                             W3   −→ V
                                &        %
                            6                6
                                    W2
   В диаграмме 8.1 стрелки со знаками неравенства обозначают (ли-
нейные) отображения вложения, сопоставляющие каждому векто-
ру из некоторого подпространства этот же самый вектор, но рас-
сматриваемый в некотором другом, более широком подпространстве.
Любопытно, что если какая-либо из "сторон ромба" тривиализуется
(превращается в равенство), то тривиализуется и противоположная
сторона. (Это следует из замечания 8.1.)
  Замечание 8.3.∗ В бесконечномерной
                      P               линейной алгебре вводится
определение для суммы ι∈I Wi произвольного (может быть, беско-
нечного) семейства W = {Wι }ι∈I линейных подпространств.

Страницы