Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

92 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Доказательство. Обозначим d
i
= dim(W
i
) (где i = 0, 1, 2, 3) раз-
мерности задействованных в формуле (8.2) подпространств (напом-
ним, что W
3
— это сумма, W
0
— пересечение подпространств W
1
и W
2
). В силу свойства монотонности размерности, имеют место
неравенства: d
0
6 d
1
, d
2
6 d
3
. Докажем соотношение
d
3
= d
1
+ d
2
− d
0
. (8.2a)
В таком виде мы будем использовать формулу в дальнейшем (на-
пример, при описании алгоритмов построения базисов в следующем
параграфе). В доказательстве, однако, эти обозначения были бы че-
ресчур громоздкими, и мы их временно укоротим: d
0
= m; d
1
= k;
d
2
= l; d
3
= s.
Выберем произвольный базис
B
0
= [ b
1
, ... , b
m
] (8.3)
в подпространстве W
0
и, пользуясь предложением 5.5, продолжим
его двояко:
— до базиса
B
1
= [ b
1
, ... , b
m
, g
1
, ... , g
k− m
] (8.4)
в подпространстве W
1
;
— до базиса
B
2
= [ b
1
, ... , b
m
, h
1
, ... , h
l−m
] (8.5)
в подпространстве W
2
.
Затем составим следующую систему из m + (k − m) + (l − m) =
k + l −m векторов:
B
3
= [ b
1
, ... , b
m
, g
1
, ... , g
k− m
, h
1
, ... , h
l−m
]. (8.6)
Доказав, что B
3
является базисом в W
3
, мы, как следствие, полу-
чим равенство (8.2а).
Сначала убедимся в том, что с.в. (8.6) порождает W
3
. В самом
деле, всякий вектор x ∈ W
3
, по определению суммы подпространств,
представляется в виде x = y + z, где y ∈ W
1
, а z ∈ W
2
. Вектор y
можно представить разложением по базису (8.4), а z — разложением
по (8.5); сложив два этих разложения и приведя подобные члены
(содержащие векторы из B
0
), получим разложение для x по с.в. (8.6).
92       Линейные пространства. Базисы и размерности                          Гл. 1

  Доказательство. Обозначим di = dim(Wi ) (где i = 0, 1, 2, 3) раз-
мерности задействованных в формуле (8.2) подпространств (напом-
ним, что W3 — это сумма, W0 — пересечение подпространств W1
и W2 ). В силу свойства монотонности размерности, имеют место
неравенства: d0 6 d1 , d2 6 d3 . Докажем соотношение

                                 d3 = d1 + d2 − d0 .                          (8.2a)

   В таком виде мы будем использовать формулу в дальнейшем (на-
пример, при описании алгоритмов построения базисов в следующем
параграфе). В доказательстве, однако, эти обозначения были бы че-
ресчур громоздкими, и мы их временно укоротим: d0 = m; d1 = k;
d2 = l; d3 = s.
   Выберем произвольный базис

                                  B0 = [ b1 , ... , bm ]                       (8.3)

в подпространстве W0 и, пользуясь предложением 5.5, продолжим
его двояко:
   — до базиса
                  B1 = [ b1 , ... , bm , g1 , ... , gk−m ] (8.4)

в подпространстве W1 ;
   — до базиса
                  B2 = [ b1 , ... , bm , h1 , ... , hl−m ]                     (8.5)

в подпространстве W2 .
   Затем составим следующую систему из m + (k − m) + (l − m) =
k + l − m векторов:

                B3 = [ b1 , ... , bm , g1 , ... , gk−m , h1 , ... , hl−m ].    (8.6)

   Доказав, что B3 является базисом в W3 , мы, как следствие, полу-
чим равенство (8.2а).
   Сначала убедимся в том, что с.в. (8.6) порождает W3 . В самом
деле, всякий вектор x ∈ W3 , по определению суммы подпространств,
представляется в виде x = y + z, где y ∈ W1 , а z ∈ W2 . Вектор y
можно представить разложением по базису (8.4), а z — разложением
по (8.5); сложив два этих разложения и приведя подобные члены
(содержащие векторы из B0 ), получим разложение для x по с.в. (8.6).

Страницы