Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

94 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Все доказано. ¤
Замечание 8.4. Из формулы Грассмана следует уже упоминав-
шееся в начале данного пункта свойство: размерность суммы двух
подпространств не превышает суммы размерностей слагаемых. Это
утверждение остается справедливым и для суммы нескольких конеч-
номерных подпространств:
dim(
n
X
i=1
W
i
) 6
n
X
i=1
dim(W
i
). (8.12)
В самом деле, выберем в каждом из слагаемых базис B
i
, содержа-
щий, скажем, n
i
векторов. Тогда с.в.
B = [ B
1
, B
2
, ... , B
s
] (8.13)
является порождающей для W и, следовательно, по теореме 4.2, со-
держит некоторый базис в W, мощность которого, т. е. размерность
пространства W , мы обозначим n. Убеждаемся в справедливости
неравенства
n 6
s
X
i=1
n
i
,
совпадающего с (8.12).
Замечание 8.5.
∗
Формула Грассмана (8.2) имеет разнообразные
аналоги в других математических науках, а также — обобщения на
случай нескольких слагаемых.
Рассмотрим сначала два конечных множества A
1
и A
2
, содер-
жащие d
1
и d
2
элементов соответственно. Пусть их пересечение
A
0
= A
1
∩A
2
и объединение A
3
= A
1
∪A
2
содержат d
0
и d
3
элементов
соответственно. Если сложить числа d
1
и d
2
, то элементы пересе-
чения будут посчитаны дважды. Удаляя это повторение, получаем:
d
3
= d
1
+ d
2
− d
0
. Вспоминая "плохое" обозначение (с помощью па-
лочек; см. замечание 16.4 в пособии [A
1
]) для мощности множеств,
можем записать простейший случай так называемой формулы вклю-
чений и исключений:
|A
1
∪ A
2
| = |A
1
| + |A
2
| −|A
1
∩ A
2
|.
В самом общем виде формула с таким названием позволяет вычис-
лить мощность произвольного конечного объединения |A
1
∪... ∪A
n
|.
94       Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

     Все доказано. ¤
  Замечание 8.4. Из формулы Грассмана следует уже упоминав-
шееся в начале данного пункта свойство: размерность суммы двух
подпространств не превышает суммы размерностей слагаемых. Это
утверждение остается справедливым и для суммы нескольких конеч-
номерных подпространств:
                              n
                              X              n
                                             X
                       dim(         Wi ) 6         dim(Wi ).   (8.12)
                              i=1            i=1

  В самом деле, выберем в каждом из слагаемых базис Bi , содержа-
щий, скажем, ni векторов. Тогда с.в.

                           B = [ B1 , B2 , ... , Bs ]          (8.13)

является порождающей для W и, следовательно, по теореме 4.2, со-
держит некоторый базис в W, мощность которого, т. е. размерность
пространства W , мы обозначим n. Убеждаемся в справедливости
неравенства
                              Xs
                          n6     ni ,
                                        i=1

совпадающего с (8.12).
   Замечание 8.5.∗ Формула Грассмана (8.2) имеет разнообразные
аналоги в других математических науках, а также — обобщения на
случай нескольких слагаемых.
   Рассмотрим сначала два конечных множества A1 и A2 , содер-
жащие d1 и d2 элементов соответственно. Пусть их пересечение
A0 = A1 ∩ A2 и объединение A3 = A1 ∪ A2 содержат d0 и d3 элементов
соответственно. Если сложить числа d1 и d2 , то элементы пересе-
чения будут посчитаны дважды. Удаляя это повторение, получаем:
d3 = d1 + d2 − d0 . Вспоминая "плохое" обозначение (с помощью па-
лочек; см. замечание 16.4 в пособии [A1 ]) для мощности множеств,
можем записать простейший случай так называемой формулы вклю-
чений и исключений:

                  |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |.

  В самом общем виде формула с таким названием позволяет вычис-
лить мощность произвольного конечного объединения |A1 ∪ ... ∪ An |.

Страницы