Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

96 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
представление (9.2) определено однозначно, т. е. все компоненты
(слагаемые) y
i
в правой части этой формулы определены единствен-
ным образом.
Для прямой суммы используются обозначения:
W =
s
M
i=1
W
i
= W
1
⊕ W
2
⊕ ... ⊕ W
s
. (9.3)
Замечание 9.1. В определении 9.1 уточняющий эпитет внутрен-
няя перед термином прямая сумма не был мотивирован. А появился
он в связи с тем, что сумма (9.1) содержит свои слагаемые в каче-
стве линейных подпространств, в отличие от (определяемой в п. 9.4)
внешней прямой суммы линейных пространств, которая свои сла-
гаемые не содержит (хотя содержит их изоморфные копии).
И еще хотелось бы прокомментировать рискованный термин пря-
мизна (в отношении суммы подпространств). В словарях русского
языка это слово присутствует, однако математики его старательно
избегают. Автор берет на себя определенную лингвистическую сме-
лость, полагая, что употребление необщепринятого термина оправ-
дывается его выразительностью.
Ниже устанавливаются два критерия прямизны. Первый из них
справедлив безусловно, а второй — в предположении конечномерно-
сти подпространства (9.1). Для формулировки этих результатов нам
понадобится следующее
Определение 9.2. 1. Два линейных подпространства W
1
и W
2
в линейном пространстве V называются независимыми, если их пе-
ресечение тривиально:
W
1
∩ W
2
= O. (9.4)
2. Семейство {W
i
}
s
i=1
линейных подпространств W
i
6 V называ-
ется независимым в совокупности, если любое из них имеет триви-
альное пересечение с суммой остальных, т. е. если для любого номера
j = 1, ..., s справедливо:
W
j
∩
c
W
j
= O, (9.5)
где
c
W
j
=
n
X
i=1
i6=j
W
i
(9.6)
96     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

представление (9.2) определено однозначно, т. е. все компоненты
(слагаемые) yi в правой части этой формулы определены единствен-
ным образом.
   Для прямой суммы используются обозначения:
                      s
                      M
                W =         Wi = W1 ⊕ W2 ⊕ ... ⊕ Ws .         (9.3)
                      i=1


   Замечание 9.1. В определении 9.1 уточняющий эпитет внутрен-
няя перед термином прямая сумма не был мотивирован. А появился
он в связи с тем, что сумма (9.1) содержит свои слагаемые в каче-
стве линейных подпространств, в отличие от (определяемой в п. 9.4)
внешней прямой суммы линейных пространств, которая свои сла-
гаемые не содержит (хотя содержит их изоморфные копии).
   И еще хотелось бы прокомментировать рискованный термин пря-
мизна (в отношении суммы подпространств). В словарях русского
языка это слово присутствует, однако математики его старательно
избегают. Автор берет на себя определенную лингвистическую сме-
лость, полагая, что употребление необщепринятого термина оправ-
дывается его выразительностью.
  Ниже устанавливаются два критерия прямизны. Первый из них
справедлив безусловно, а второй — в предположении конечномерно-
сти подпространства (9.1). Для формулировки этих результатов нам
понадобится следующее
   Определение 9.2. 1. Два линейных подпространства W1 и W2
в линейном пространстве V называются независимыми, если их пе-
ресечение тривиально:

                             W1 ∩ W2 = O.                     (9.4)
   2. Семейство {Wi }si=1 линейных подпространств Wi 6 V называ-
ется независимым в совокупности, если любое из них имеет триви-
альное пересечение с суммой остальных, т. е. если для любого номера
j = 1, ..., s справедливо:
                                  cj = O,
                             Wj ∩ W                           (9.5)
где
                                     n
                                     X
                              cj =
                              W             Wi                (9.6)
                                     i=1
                                     i6=j

Страницы