Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

102 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
(для случая линейных подпространств в арифметических линейных
пространствах) определялось в [A
1
] (см. замечание 11.3) как раз-
ность между размерностью всего пространства и размерностью под-
пространства. Так что формула (9.16) уже установлена.
Базис (9.19) в пространстве V , по построению, разбит на две не
пересекающиеся подсистемы B и C, являющиеся базисами в W и W
0
соответственно. Согласно предложению 9.2, пространство V разби-
вается в прямую сумму (9.15), т. е. W
0
является прямым дополнением
к W .
2. Второе утверждение предложения доказывается небольшой мо-
дификацией доказательства первого утверждения. Если уже имеет-
ся некоторое подпространство U 6 V , независимое с W и имеющее,
скажем, размерность l, то сумма W + U будет прямой, и ее размер-
ность будет равна k + l. Можно выбрать в этой сумме приспособ-
ленный базис [B, G], где G = [ g
1
, ... , g
l
] — произвольный базис в U, а
затем, добавляя еще n −(k + l) векторов, продолжить этот базис до
базиса во всем пространстве.
(Разумеется, не исключается случай нулевого подпространства U;
тогда базис G будет пустым.) ¤
Пример 9.1. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство V = P
n
и два подпространства в нем: (n − 1)-мерное подпро-
странство W
1
, определяемое однородной системой из одного линей-
ного уравнения x
1
+ x
2
+ ... + x
n
= 0, и одномерное подпространство
W
2
, порожденное вектором
a =
1
1
···
1
.
Эти подпространства, очевидно, независимы: вектор λa, пропор-
циональный базисному вектору в W
2
, принадлежит W
1
тогда и толь-
ко тогда, когда λ = 0. Следовательно, сумма W
1
+ W
2
является пря-
мой, а поскольку ее размерность равна n, то она совпадает со всем
пространством V. Значит, данные подпространства взаимно допол-
нительны. (Можете сопоставить полученный результат с примером
13.1 в [A
1
].)
Пример 9.2. Рассмотрим n
2
-мерное пространство квадратных
матриц V = L(n, P ) и в нем подмножества симметрических и ан-
тисимметрических матриц:
L
s
(n, P ) = {A ∈ L(n, P ) : A
t
= A }; (9.21)
102     Линейные пространства. Базисы и размерности                Гл. 1

(для случая линейных подпространств в арифметических линейных
пространствах) определялось в [A1 ] (см. замечание 11.3) как раз-
ность между размерностью всего пространства и размерностью под-
пространства. Так что формула (9.16) уже установлена.
   Базис (9.19) в пространстве V , по построению, разбит на две не
пересекающиеся подсистемы B и C, являющиеся базисами в W и W 0
соответственно. Согласно предложению 9.2, пространство V разби-
вается в прямую сумму (9.15), т. е. W 0 является прямым дополнением
к W.
   2. Второе утверждение предложения доказывается небольшой мо-
дификацией доказательства первого утверждения. Если уже имеет-
ся некоторое подпространство U 6 V , независимое с W и имеющее,
скажем, размерность l, то сумма W + U будет прямой, и ее размер-
ность будет равна k + l. Можно выбрать в этой сумме приспособ-
ленный базис [B, G], где G = [ g1 , ... , gl ] — произвольный базис в U, а
затем, добавляя еще n − (k + l) векторов, продолжить этот базис до
базиса во всем пространстве.
   (Разумеется, не исключается случай нулевого подпространства U ;
тогда базис G будет пустым.) ¤
   Пример 9.1. Рассмотрим арифметическое линейное простран-
ство V = P n и два подпространства в нем: (n − 1)-мерное подпро-
странство W1 , определяемое однородной системой из одного линей-
ного уравнения x1 + x2 + ... + xn = 0, и одномерное подпространство
W2 , порожденное вектором
                                      
                                    1
                                  1 
                             a=       .
                                   ···
                                    1
   Эти подпространства, очевидно, независимы: вектор λa, пропор-
циональный базисному вектору в W2 , принадлежит W1 тогда и толь-
ко тогда, когда λ = 0. Следовательно, сумма W1 + W2 является пря-
мой, а поскольку ее размерность равна n, то она совпадает со всем
пространством V. Значит, данные подпространства взаимно допол-
нительны. (Можете сопоставить полученный результат с примером
13.1 в [A1 ].)
  Пример 9.2. Рассмотрим n2 -мерное пространство квадратных
матриц V = L(n, P ) и в нем подмножества симметрических и ан-
тисимметрических матриц:
                 Ls (n, P ) = { A ∈ L(n, P ) : At = A };           (9.21)

Страницы