Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 9 Прямые суммы и прямые дополнения 105
Объединение базисов E
s
и E
a
будет приспособленным базисом в
прямой сумме (9.27).
Замечание 9.5. В дальнейшем нам понадобится, как принято го-
ворить, относительная версия определения 9.3. Рассматривается
линейное подпространство W
1
в линейном подпространстве W в ли-
нейном пространстве V и определяется прямое дополнение к под-
пространству W
1
в подпространстве W (как такое подпространство
W
2
6 W, что W
1
⊕ W
2
= W ).
Ничего принципиально нового в понятии относительного прямо-
го дополнения нет, ибо подпространство W в линейном простран-
стве V само является линейным пространством. Однако, именно в
такой версии нам придется многократно использовать понятие пря-
мого дополнения в самой сложной (и важной), третьей главе насто-
ящего пособия.
9.3. Полные прямые суммы. Операторы вложения и про-
ектирования. В данном пункте будет описана конструкция, обоб-
щающая (на случай произвольного количества слагаемых) разбиение
(9.15) линейного пространства в сумму двух взаимно дополнитель-
ных подпространств.
Определение 9.4. Сумма семейства {W
i
}
s
i=1
линейных подпро-
странств W
i
6 V называется полной, если она совпадает со всем
пространством V :
V =
s
X
i=1
W
i
. (9.32)
Особенно важны полные прямые суммы:
V =
s
M
i=1
W
i
. (9.33)
Частным случаем суммы (9.33) является разбиение данного про-
странства V в прямую сумму двух взаимно дополнительных подпро-
странств:
V = W
1
⊕ W
2
. (9.34)
Со всякой полной прямой суммой вида (9.33) [и, в частности, с
суммой (9.34)] связаны семейства линейных отображений (операто-
ров, гомоморфизмов) вложения и проектирования. (См. определе-
ния и словарь морфизмов в п. 1.6.)
§9            Прямые суммы и прямые дополнения              105

  Объединение базисов Es и Ea будет приспособленным базисом в
прямой сумме (9.27).
   Замечание 9.5. В дальнейшем нам понадобится, как принято го-
ворить, относительная версия определения 9.3. Рассматривается
линейное подпространство W1 в линейном подпространстве W в ли-
нейном пространстве V и определяется прямое дополнение к под-
пространству W1 в подпространстве W (как такое подпространство
W2 6 W, что W1 ⊕ W2 = W ).
   Ничего принципиально нового в понятии относительного прямо-
го дополнения нет, ибо подпространство W в линейном простран-
стве V само является линейным пространством. Однако, именно в
такой версии нам придется многократно использовать понятие пря-
мого дополнения в самой сложной (и важной), третьей главе насто-
ящего пособия.

   9.3. Полные прямые суммы. Операторы вложения и про-
ектирования. В данном пункте будет описана конструкция, обоб-
щающая (на случай произвольного количества слагаемых) разбиение
(9.15) линейного пространства в сумму двух взаимно дополнитель-
ных подпространств.
  Определение 9.4. Сумма семейства {Wi }si=1 линейных подпро-
странств Wi 6 V называется полной, если она совпадает со всем
пространством V :
                            Xs
                        V =    Wi .                     (9.32)
                                i=1

     Особенно важны полные прямые суммы:
                                s
                                M
                          V =         Wi .                (9.33)
                                i=1

  Частным случаем суммы (9.33) является разбиение данного про-
странства V в прямую сумму двух взаимно дополнительных подпро-
странств:
                         V = W1 ⊕ W2 .                   (9.34)
  Со всякой полной прямой суммой вида (9.33) [и, в частности, с
суммой (9.34)] связаны семейства линейных отображений (операто-
ров, гомоморфизмов) вложения и проектирования. (См. определе-
ния и словарь морфизмов в п. 1.6.)

Страницы