Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 109 стр.

§9           Прямые суммы и прямые дополнения                 109

говорить о множестве (9.47) как о линейном пространстве (над тем
же полем P ).
   Сразу заметим, что пространства-слагаемые Vi не содержатся в
своей прямой сумме (9.47), в связи с чем эта последняя и называется
внешней.
  Замечание 9.6 (для служебного пользования). В данной теме про-
исходит своеобразное наслоение мультипликатвной и аддитивной
терминологии (и соответствующих обозначений).
  Мультипликативная терминология происходит от использования
декартова произведения (линейных пространств, рассматриваемых
как множества). И обозначения при этом [в формуле (9.44)] исполь-
зуются мультипликативные.
  Однако, как данные множества Vi , так и их произведение V несут
аддитивную структуру (наделены алгебраическим действием сложе-
ния). В связи с этим к ним применяется аддитивная терминология:
V называется не "прямым произведением", а прямой суммой, что
закрепляется и в обозначениях [см. формулу (9.47)].
  Интересная коллизия (непоследовательность в обозначениях) воз-
никает при рассмотрении прямой суммы нескольких одинаковых
слагаемых. Сумма
                        V ⊕ V ⊕ V ⊕ ... ⊕ V
                        |       {z         }
                               s раз

обозначается мультипликативно, как степень V s , и, соответственно,
называется прямой степенью линейного пространства V.
   С этим явлением мы знакомы с первых страниц данного курса,
поскольку с самого начала работаем с арифметическими линейными
пространствами типа Rn , которые, как теперь очевидно, являются,
по сути, прямыми степенями пространства (поля) R. Точнее было бы
говорить об их изоморфизме с прямыми степенями; отличие здесь —
сугубо "косметическое", оно выражается в стиле записи (в столбик
или в строчку).
   Далее будет установлена связь введенного в данном пункте по-
нятия внешней прямой суммы линейных пространств с рассматри-
вавшимся в п. 9.2 понятием внутренней прямой суммы линейных
подпространств в некотором линейном пространстве.
   Как уже отмечалось, пространства Vi не содержатся в простран-
стве V. Имеются однако естественные линейные мономорфизмы, изо-
морфно вкладывающие слагаемые в их (внешнюю) прямую сумму.