Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

110 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Эти операторы вложения действуют и обозначаются несколько ина-
че, нежели аналогичные операторы для внутренней прямой суммы
(см. п. 9.3). Определяются они формулами
β
i
: V
i
−→ V ; β
i
(x
i
) = (0, ..., 0, x
i
, 0, ..., 0); i = 1, ..., s, (9.48)
где элемент x
i
∈ V
i
ставится на свое место (с номером i); все осталь-
ные элементы в наборе являются нулевыми векторами (в соответ-
ствующих пространствах).
Линейность и инъективность отображений (9.48) совершенно оче-
видны, так что применение к этим отображениям термина линейный
мономорфизм является обоснованным. Всякий мономорфизм явля-
ется изоморфизмом на свой образ. Для любого i = 1, ..., s образом
мономорфизма (9.47) является подмножество
W
i
= β
i
(V
i
) = {(0, ..., 0, x
i
, 0, ..., 0) : x
i
∈ V
i
} (9.49)
в пространстве V , являющееся линейным подпространством в V, по
построению изоморфным пространству V
i
.
Предложение 9.5. Внешняя прямая сумма (9.47) линейных
пространств {V
i
}
s
i=1
является внутренней прямой суммой
V =
s
M
i=1
W
i
(9.50)
линейных подпространств W
i
6 V , которые заданы формулами
(9.49) и изоморфны соответствующим пространствам V
i
.
Доказательство. Должны быть очевидны независимость в со-
вокупности подпространств (9.49) и тот факт, что эти подпростран-
ства порождают V . (Если не очевидно, то еще раз просмотрите до-
казательство предложения 9.2. Здесь рассуждение совершенно ана-
логично.)
Значит, по предложению 9.1, пространство V является (внутрен-
ней) прямой суммой подпространств (9.49). ¤
110      Линейные пространства. Базисы и размерности                          Гл. 1

Эти операторы вложения действуют и обозначаются несколько ина-
че, нежели аналогичные операторы для внутренней прямой суммы
(см. п. 9.3). Определяются они формулами

      βi : Vi −→ V ; βi (xi ) = (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0); i = 1, ..., s,   (9.48)

где элемент xi ∈ Vi ставится на свое место (с номером i); все осталь-
ные элементы в наборе являются нулевыми векторами (в соответ-
ствующих пространствах).
   Линейность и инъективность отображений (9.48) совершенно оче-
видны, так что применение к этим отображениям термина линейный
мономорфизм является обоснованным. Всякий мономорфизм явля-
ется изоморфизмом на свой образ. Для любого i = 1, ..., s образом
мономорфизма (9.47) является подмножество

              Wi = βi (Vi ) = { (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0) : xi ∈ Vi }       (9.49)

в пространстве V , являющееся линейным подпространством в V, по
построению изоморфным пространству Vi .

  Предложение 9.5. Внешняя прямая сумма (9.47) линейных
пространств {Vi }si=1 является внутренней прямой суммой

                                           s
                                           M
                                    V =          Wi                           (9.50)
                                           i=1


линейных подпространств Wi 6 V , которые заданы формулами
(9.49) и изоморфны соответствующим пространствам Vi .

   Доказательство. Должны быть очевидны независимость в со-
вокупности подпространств (9.49) и тот факт, что эти подпростран-
ства порождают V . (Если не очевидно, то еще раз просмотрите до-
казательство предложения 9.2. Здесь рассуждение совершенно ана-
логично.)
   Значит, по предложению 9.1, пространство V является (внутрен-
ней) прямой суммой подпространств (9.49). ¤

Страницы