Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 111 стр.

§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах        111

        § 10. Алгоритмы построения базисов
           в линейных подпространствах
       конечномерных линейных пространств

   10.1. Два способа задания линейных подпространств и
алгоритмы построения базисов в них. Как только дело до-
ходит до алгоритмов практического нахождения базисов в подпро-
странствах некоторого к.л.п., мы возвращаемся к ситуации, когда
требуется "оцифровка" (арифметизация) данного пространства с
помощью фиксации в нем некоторого исходного базиса (см. выше
п. 7.3). В данном пункте мы будем считать, что арифметизация уже
проведена, т. е. фактически будем работать в пространстве V = P n .
   Кроме того, надо помнить о двух основных способах задания ли-
нейных подпространств в арифметическом линейном пространстве
(см. пример 1.5, а также § 13 в [A1 ]).
   Здесь (с целью систематизации) мы дадим краткий пересказ трех
уже изученных (в указанном параграфе первого пособия) алгорит-
мов, связанных с построением базисов в подпространствах, при раз-
личных способах их задания. В следующих пунктах мы (в анало-
гичном ключе) изложим еще три алгоритма (продолжение базисов,
построение базисов в сумме и пересечении). Числовым примерам
будет посвящен отдельный параграф.
   Еще раз подчеркнем, что наши описания алгоритмов будут сугубо
схематическими, все подробности разбирались ранее, а доведение
излагаемых схем до "настоящих" алгоритмов — предмет не нашего
курса.

А л г о р и т м 10. 1.
Построение базиса в линейном подпространстве,
заданном первым способом: W = L0A 6 P n

  Рассмотрим (m×n)-матрицу A с элементами из поля P и линейное
подпространство

                 W = L0A = { x ∈ P n : A · x = 0 },          (10.1)

состоящее из всех решений однородной с.л.у.

                          A · x = 0 .                        (10.2)
                         m×n   n×1   m×1