Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Алгоритмы построения базисов в подпространствах 113
столбцы и соберем их (в исходном виде) в подматрицу B, размера
n × r, где r = rank(G).
2. Данное подпространство (10.5) снова окажется заданным вто-
рым способом:
W = R
B
, (10.6)
но уже экономно, без лишних порождающих столбцов; столбцы B
будут составлять базис W.
3. Размерность данного подпространства определяется формулой:
dim(W ) = r = rank(G) = rank(B). (10.7)
А л г о р и т м 10. 3.
Переход от задания линейного подпространства
вторым способом (W = R
G
)
к его заданию первым способом (W = L
0
A
)
Рассмотрим линейное подпространство W размерности r, задан-
ное вторым способом, посредством описания (10.5).
С помощью алгоритма 10.2 можно перейти к экономному заданию
(10.6). Считаем далее, что это уже сделано, т. е. W = R
B
, где (n×r)-
матрица B имеет полный ранг по столбцам:
r = rank(B) = rank(G).
(Данный предварительный этап не является обязательным: слег-
ка модифицированный алгоритм работает с исходной матрицей G,
без удаления лишних порождающих векторов.)
1. Будем искать построчно ((n −r) ×n)-матрицу A, такую, чтобы
она задавала первым способом подпространство W. Каждая строка
a
t
неизвестной матрицы A должна удовлетворять однородной с.л.у.
a
t
1×n
· B
n×r
= 0
t
1×r
, (10.8)
т. е. все произведения a
t
на базисные векторы b
j
(j = 1, ..., r) долж-
ны быть нулевыми. Причем требуется найти ровно n − r линей-
но независимых строк, удовлетворяющих (10.8). Тогда полученная
§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах           113

столбцы и соберем их (в исходном виде) в подматрицу B, размера
n × r, где r = rank(G).
  2. Данное подпространство (10.5) снова окажется заданным вто-
рым способом:
                           W = RB ,                      (10.6)

но уже экономно, без лишних порождающих столбцов; столбцы B
будут составлять базис W.
  3. Размерность данного подпространства определяется формулой:

                 dim(W ) = r = rank(G) = rank(B).               (10.7)




А л г о р и т м 10. 3.
Переход от задания линейного подпространства
вторым способом (W = RG )
к его заданию первым способом (W = L0A )

   Рассмотрим линейное подпространство W размерности r, задан-
ное вторым способом, посредством описания (10.5).
   С помощью алгоритма 10.2 можно перейти к экономному заданию
(10.6). Считаем далее, что это уже сделано, т. е. W = RB , где (n×r)-
матрица B имеет полный ранг по столбцам:

                       r = rank(B) = rank(G).

   (Данный предварительный этап не является обязательным: слег-
ка модифицированный алгоритм работает с исходной матрицей G,
без удаления лишних порождающих векторов.)
   1. Будем искать построчно ((n − r) × n)-матрицу A, такую, чтобы
она задавала первым способом подпространство W. Каждая строка
at неизвестной матрицы A должна удовлетворять однородной с.л.у.

                            at   · B = 0t ,                     (10.8)
                           1×n   n×r   1×r


т. е. все произведения at на базисные векторы bj (j = 1, ..., r) долж-
ны быть нулевыми. Причем требуется найти ровно n − r линей-
но независимых строк, удовлетворяющих (10.8). Тогда полученная

Страницы