Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 115 стр.

§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах       115

   А коразмерность линейного подпространства равняется количе-
ству линейных однородных уравнений в экономном задании этого
подпространства первым способом.
   Оговорим особые (крайние) случаи: W = O и W = V.
   Нулевое подпространство имеет пустой базис; можно (условно)
считать, что вторым способом оно задается с помощью пустой мат-
рицы (размера n×0). [Для программистов пустые матрицы — отнюдь
не экзотика, но суровая необходимость!]
   Первым способом подпространство O можно (причем — экономно)
задать с помощью однородной с.л.у.

                      x1 = x2 = ... = xn = 0,

имеющей стандартную запись вида (10.2), с единичной матрицей En
в качестве матрицы A.
   Наибольшее из подпространств W = V = P n может быть зада-
но вторым способом (причем — экономно) как линейная оболочка
столбцов единичной матрицы En .
   Считается (условно), что экономное задание наибольшего подпро-
странства первым способом осуществляется с помощью пустой си-
стемы уравнений. (Можно, конечно, задать это подпространство и
непустой однородной с.л.у., например, одним уравнением

                  0 · x1 + 0 · x2 + ... + 0 · xn = 0,

но это не будет экономным заданием.)

   10.2. Алгоритм продолжения базиса. Переходим к описа-
нию новых (не разбиравшихся в первом семестре) алгоритмов. Чет-
вертый алгоритм будет решать задачу продолжения базиса в неко-
тором подпространстве W1 6 V до базиса в некотором другом, более
широком подпространстве W2 (W1 6 W2 6 V ); см. по этому пово-
ду п. 5.4 выше. Добавочные векторы, дополняющие базис в W1 до
базиса в W2 , составляют базис в некотором прямом дополнении (см.
п. 9.2 и, в частности, замечание 9.5) к меньшему подпространству в
большем.


А л г о р и т м 10. 4.
Продолжение базиса в линейном подпространстве W1 6 V
до базиса в более широком подпространстве W2 6 V.