Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Алгоритмы построения базисов в подпространствах 117
[Как и в алгоритме 10.2, здесь не возбраняются (сопровождаемые
метками) перестановки столбцов, внутри каждой из зон по отдель-
ности; ни в коем случае нельзя "заступать" за вертикальную черту,
разделяющую зоны. Хотя, скорее всего, какие-либо перестановки
столбцов могут потребоваться лишь при работе с неподготовленны-
ми матрицами, содержащими лишние столбцы.]
В ступенчатом виде, в первой зоне (на месте блока B
1
) ступень-
ки будут идти подряд (в количестве r
1
); во второй зоне образуется
p = r
2
− r
1
ступенек (идущих уже не обязательно подряд).
3. Векторы, проходящие через ступеньки M
0
, собираем (в их ис-
ходном виде, как в матрице M) в новую матрицу
B
0
2
n×r
2
=
µ
B
1
n×r
1
¯
¯
¯
¯
C
n×p
, (10.14)
в которой уже содержится подматрица B
1
и фигурируют добавочные
векторы-столбцы матрицы C, дополняющие базис в W
1
, заключен-
ный в матрицу B
1
, до базиса в W
2
.
4. Столбцы матрицы C составляют базис подпространства
U = R
C
= hc
1
, c
2
, ... , c
p
i (10.15)
в пространстве W
2
, являющегося прямым дополнением к W
1
, т. е.
имеет место равенство
W
2
= W
1
⊕ U. (10.16)
Замечание 10.2. Важным частным случаем применения алгорит-
ма 10.4 является случай, когда б´ольшее подпространство W
2
совпа-
дает со всем пространством V. В такой ситуации, в качестве базиса
во втором подпространстве, естественно выбрать естественный ба-
зис, элементы которого составляют единичную матрицу: B
2
= E
n
;
дополнительные векторы будут набираться из числа единичных век-
торов e
1
, ... , e
n
.
10.3. Алгоритмы построения базисов в сумме и пересе-
чении линейных подпространств. Рассмотрим два (произволь-
ных) линейных подпространства, W
1
и W
2
, в линейном простран-
стве V = P
n
и, вместе с ними — их пересечение W
0
= W
1
∩ W
2
и сумму W
3
= W
1
+ W
2
(см. диаграмму 8.1). Сохраним обозначе-
ния пункта 8.2 для размерностей рассматриваемых подпространств:
d
i
= dim(W
i
) (i = 0, 1, 2, 3).
§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах        117

[Как и в алгоритме 10.2, здесь не возбраняются (сопровождаемые
метками) перестановки столбцов, внутри каждой из зон по отдель-
ности; ни в коем случае нельзя "заступать" за вертикальную черту,
разделяющую зоны. Хотя, скорее всего, какие-либо перестановки
столбцов могут потребоваться лишь при работе с неподготовленны-
ми матрицами, содержащими лишние столбцы.]
   В ступенчатом виде, в первой зоне (на месте блока B1 ) ступень-
ки будут идти подряд (в количестве r1 ); во второй зоне образуется
p = r2 − r1 ступенек (идущих уже не обязательно подряд).
   3. Векторы, проходящие через ступеньки M 0 , собираем (в их ис-
ходном виде, как в матрице M ) в новую матрицу
                              µ     ¯    ¶
                                    ¯
                        B20 = B1 ¯¯ C ,                     (10.14)
                       n×r2      n×r1 n×p


в которой уже содержится подматрица B1 и фигурируют добавочные
векторы-столбцы матрицы C, дополняющие базис в W1 , заключен-
ный в матрицу B1 , до базиса в W2 .
   4. Столбцы матрицы C составляют базис подпространства

                     U = RC = hc1 , c2 , ... , cp i         (10.15)

в пространстве W2 , являющегося прямым дополнением к W1 , т. е.
имеет место равенство
                         W2 = W1 ⊕ U.                 (10.16)

   Замечание 10.2. Важным частным случаем применения алгорит-
ма 10.4 является случай, когда бо́льшее подпространство W2 совпа-
дает со всем пространством V. В такой ситуации, в качестве базиса
во втором подпространстве, естественно выбрать естественный ба-
зис, элементы которого составляют единичную матрицу: B2 = En ;
дополнительные векторы будут набираться из числа единичных век-
торов e1 , ... , en .
   10.3. Алгоритмы построения базисов в сумме и пересе-
чении линейных подпространств. Рассмотрим два (произволь-
ных) линейных подпространства, W1 и W2 , в линейном простран-
стве V = P n и, вместе с ними — их пересечение W0 = W1 ∩ W2
и сумму W3 = W1 + W2 (см. диаграмму 8.1). Сохраним обозначе-
ния пункта 8.2 для размерностей рассматриваемых подпространств:
di = dim(Wi ) (i = 0, 1, 2, 3).

Страницы