Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

118 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Переходим к описанию пятого алгоритма, обеспечивающего по-
строение базиса в сумме двух линейных подпространств (определе-
ние суммы см. в п. 8.1).
А л г о р и т м 10. 5.
Построение базиса в сумме W
3
= W
1
+ W
2
двух линейных подпространств W
1
, W
2
6 V
Линейные подпространства W
1
и W
2
должны быть заданы вторым
способом, причем желательно (но не обязательно) экономное задание
(10.11), с теми же предположениями относительно матриц B
1
и B
2
,
которые были перечислены после указанного описания. (Если одно
или оба подпространства заданы первым способом, то следует пред-
варительно применить алгоритм 10.1.) Матрицы B
1
и B
2
содержат
базисы подпространств W
1
и W
2
. Размерности этих подпространств
известны:
d
i
= r
i
= rank(B
i
); i = 1, 2.
1. Так же, как и в предыдущем алгоритме, составляем матрицу-
конкатенацию M [см. (10.13)], столбцы которой образуют (возможно,
избыточную) порождающую с.в. для суммы W
3
.
2. Приводим (с помощью элементарных преобразований над стро-
ками) матрицу M к ступенчатому виду M
0
. (Перестановки столб-
цов снова допустимы — внутри каждой из двух зон, при условии
использования меток.) В первой зоне r
1
ступенек будут идти под-
ряд. Подсчитаем количество ступенек p во второй зоне. Размерность
суммы W
3
данных подпространств найдется по формуле
d
3
= dim(W
3
) = rank(B
1
|B
2
) = r
1
+ p. (10.17)
3. Выберем из матрицы B
2
добавочные векторы (образы которых
в степенчатом виде M
0
проходят через ступеньки) и составим из них
матрицу
C
n×p
= (c
1
|c
2
|... |c
p
) . (10.18)
Матрица B
3
, содержащая базис W
3
, определяется как конкатена-
ция
B
3
n×d
3
=
µ
B
1
n×d
1
¯
¯
¯
¯
C
n×p
. (10.19)
118     Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

  Переходим к описанию пятого алгоритма, обеспечивающего по-
строение базиса в сумме двух линейных подпространств (определе-
ние суммы см. в п. 8.1).

А л г о р и т м 10. 5.
Построение базиса в сумме W3 = W1 + W2
двух линейных подпространств W1 , W2 6 V

   Линейные подпространства W1 и W2 должны быть заданы вторым
способом, причем желательно (но не обязательно) экономное задание
(10.11), с теми же предположениями относительно матриц B1 и B2 ,
которые были перечислены после указанного описания. (Если одно
или оба подпространства заданы первым способом, то следует пред-
варительно применить алгоритм 10.1.) Матрицы B1 и B2 содержат
базисы подпространств W1 и W2 . Размерности этих подпространств
известны:
                     di = ri = rank(Bi ); i = 1, 2.

  1. Так же, как и в предыдущем алгоритме, составляем матрицу-
конкатенацию M [см. (10.13)], столбцы которой образуют (возможно,
избыточную) порождающую с.в. для суммы W3 .
  2. Приводим (с помощью элементарных преобразований над стро-
ками) матрицу M к ступенчатому виду M 0 . (Перестановки столб-
цов снова допустимы — внутри каждой из двух зон, при условии
использования меток.) В первой зоне r1 ступенек будут идти под-
ряд. Подсчитаем количество ступенек p во второй зоне. Размерность
суммы W3 данных подпространств найдется по формуле

               d3 = dim(W3 ) = rank(B1 |B2 ) = r1 + p.      (10.17)

   3. Выберем из матрицы B2 добавочные векторы (образы которых
в степенчатом виде M 0 проходят через ступеньки) и составим из них
матрицу
                        C = (c1 |c2 | ... |cp ) .           (10.18)
                       n×p

  Матрица B3 , содержащая базис W3 , определяется как конкатена-
ция                        µ     ¯      ¶
                                 ¯
                     B3 = B1 ¯¯ C         .               (10.19)
                      n×d3     n×d1   n×p

Страницы