Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

120 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Он будет принадлежать пересечению W
0
тогда и только тогда,
когда будет удовлетворять обеим системам (10.23), или, что равно-
сильно, — одной (объединенной) с.л.у.
e
A
0
(r
1
+r
2
)×n
· x
n×1
= 0
(r
1
+r
2
)×1
, (10.24)
где матрица
e
A
0
определяется как стек (вертикальная конкатенация)
e
A
0
=
µ
A
1
A
2
. (10.25)
Теперь все готово к описанию хода работы алгоритма.
1. Составляем матрицу (10.25). Подпространство-пересечение W
0
можно задать первым способом:
W
0
= L
0
e
A
0
, (10.26)
т. е. как подмножество решений однородной с.л.у. (10.24).
Описание (10.26), вообще говоря, не является экономным, но раз-
мерность пересечения d
0
уже можно вычислить:
d
0
= n − r
0
, (10.27)
где r
0
= rank(
e
A
0
).
2. Применяя к подпространству (10.26) алгоритм 10.1, мы, преж-
де всего, получаем экономное задание этого подпространства
W
0
= L
0
A
0
, (10.26
0
)
где (r
0
×n)-матрица A
0
является видом Жордана — Гаусса матрицы
e
A
0
и имеет полный ранг по строкам.
3. Решая с.л.у.
A
0
r
0
×n
· x
n×1
= 0
r
0
×1
, (10.28)
находим фундаментальную матрицу F
0
, размера n ×(n −r
0
), содер-
жащую базис в пересечении W
0
. (С целью сохранения общего стиля
обозначений в описаниях данного и предыдущего алгоритмов можно
переобозначить: F
0
= B
0
.) Получаем задание подпространства W
0
вторым способом:
W
0
= R
B
0
. (10.29)
120    Линейные пространства. Базисы и размерности              Гл. 1

  Он будет принадлежать пересечению W0 тогда и только тогда,
когда будет удовлетворять обеим системам (10.23), или, что равно-
сильно, — одной (объединенной) с.л.у.

                       e0
                       A          · x =              0     ,   (10.24)
                    (r1 +r2 )×n   n×1        (r1 +r2 )×1


            e0 определяется как стек (вертикальная конкатенация)
где матрица A
                                  µ              ¶
                         e0 =           A1
                         A                           .         (10.25)
                                        A2

  Теперь все готово к описанию хода работы алгоритма.
  1. Составляем матрицу (10.25). Подпространство-пересечение W0
можно задать первым способом:

                             W0 = L0Ae ,                       (10.26)
                                             0


т. е. как подмножество решений однородной с.л.у. (10.24).
   Описание (10.26), вообще говоря, не является экономным, но раз-
мерность пересечения d0 уже можно вычислить:

                            d0 = n − r0 ,                      (10.27)
              e0 ).
где r0 = rank(A
   2. Применяя к подпространству (10.26) алгоритм 10.1, мы, преж-
де всего, получаем экономное задание этого подпространства

                             W0 = L0A0 ,                       (10.260 )

где (r0 × n)-матрица A0 является видом Жордана — Гаусса матрицы
Ae0 и имеет полный ранг по строкам.
   3. Решая с.л.у.
                          A0 · x = 0 ,                    (10.28)
                         r0 ×n    n×1        r0 ×1

находим фундаментальную матрицу F0 , размера n × (n − r0 ), содер-
жащую базис в пересечении W0 . (С целью сохранения общего стиля
обозначений в описаниях данного и предыдущего алгоритмов можно
переобозначить: F0 = B0 .) Получаем задание подпространства W0
вторым способом:
                           W0 = RB0 .                      (10.29)

Страницы