Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

122 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
5. Обратимся теперь к алгоритмам 10.5 и 10.6. Условия досрочно-
го выхода из этих алгоритмов усматриваются из сравнения четырех
чисел d
i
= dim(W
i
); i = 0, 1, 2, 3. (Благодаря формуле Грассмана, до-
статочно знать какие-либо три из этих чисел, четвертое по ним одно-
значно определяется. Имеются также очевидные неравенства между
размерностями d
i
, вытекающие из включений, показанных на диа-
грамме 8.2.) Искомые базисы B
i
(i = 0, 1, 2, 3) или, что равносильно,
содержащие эти базисы матрицы B
i
иногда можно определить без
вычислений.
5.1. Если d
0
= 0 , то пересечение W
0
тривиально и базис B
0
пуст
(как и соответствующая матрица B
0
); сумма W
3
является прямой;
базис B
3
находится простым объединением базисов B
1
и B
2
; соответ-
ствующая матрица находится как конкатенация B
3
= (B
1
|B
2
).
5.2. Если d
3
= n , то сумма является полной: W
3
= V ; алгоритм
может выдать какой-то базис в V = P
n
, но можно взять "всегда
готовый" естественный базис B
3
= E
n
.
5.3. Необходимым и достаточным условием наличия включения
W
1
6 W
2
является равенство W
3
= W
2
, которое, в свою очередь,
равносильно (по свойствам размерности; см. предложение 5.6) равен-
ству d
3
= d
2
. Еще раз обращаясь к диаграмме 8.2 (или к формуле
Грассмана), замечаем, что равносильным вариантом последнего ра-
венства является d
0
= d
1
. Любая из обведенных в боксы формул
может послужить сигналом для остановки вычислений. Искомые
базисы в сумме и пересечении могут быть выбраны совпадающими
с базисами в б´ольшем и меньшем подпространстве соответственно:
B
3
= B
2
; B
0
= B
1
.
5.4. Разумеется, подпространства W
1
и W
2
могут поменяться
ролями, и досрочный выход произойдет по сигналам d
3
= d
1
или
d
0
= d
2
. Возможна и совсем тривиальная ситуация d
3
= d
0
, когда
совпадают все четыре рассматриваемые подпространства и вообще
ничего больше не надо искать.
§
§
§ 11. Примеры решения задач
на построение базисов
в линейных подпространствах
11.1. Типовой расчет по теме "Базисы в подпростран-
ствах". Ниже будет описано индивидуальное задание (ТР1 — ти-
122     Линейные пространства. Базисы и размерности             Гл. 1

   5. Обратимся теперь к алгоритмам 10.5 и 10.6. Условия досрочно-
го выхода из этих алгоритмов усматриваются из сравнения четырех
чисел di = dim(Wi ); i = 0, 1, 2, 3. (Благодаря формуле Грассмана, до-
статочно знать какие-либо три из этих чисел, четвертое по ним одно-
значно определяется. Имеются также очевидные неравенства между
размерностями di , вытекающие из включений, показанных на диа-
грамме 8.2.) Искомые базисы Bi (i = 0, 1, 2, 3) или, что равносильно,
содержащие эти базисы матрицы Bi иногда можно определить без
вычислений.
   5.1. Если d0 = 0 , то пересечение W0 тривиально и базис B0 пуст
(как и соответствующая матрица B0 ); сумма W3 является прямой;
базис B3 находится простым объединением базисов B1 и B2 ; соответ-
ствующая матрица находится как конкатенация B3 = (B1 |B2 ).
   5.2. Если d3 = n , то сумма является полной: W3 = V ; алгоритм
может выдать какой-то базис в V = P n , но можно взять "всегда
готовый" естественный базис B3 = En .
   5.3. Необходимым и достаточным условием наличия включения
W1 6 W2 является равенство W3 = W2 , которое, в свою очередь,
равносильно (по свойствам размерности; см. предложение 5.6) равен-
ству d3 = d2 . Еще раз обращаясь к диаграмме 8.2 (или к формуле
Грассмана), замечаем, что равносильным вариантом последнего ра-
венства является d0 = d1 . Любая из обведенных в боксы формул
может послужить сигналом для остановки вычислений. Искомые
базисы в сумме и пересечении могут быть выбраны совпадающими
с базисами в бо́льшем и меньшем подпространстве соответственно:
B3 = B2 ; B0 = B1 .
   5.4. Разумеется, подпространства W1 и W2 могут поменяться
ролями, и досрочный выход произойдет по сигналам d3 = d1 или
 d0 = d2 . Возможна и совсем тривиальная ситуация d3 = d0 , когда
совпадают все четыре рассматриваемые подпространства и вообще
ничего больше не надо искать.


              § 11. Примеры решения задач
                 на построение базисов
             в линейных подпространствах

  11.1. Типовой расчет по теме "Базисы в подпростран-
ствах". Ниже будет описано индивидуальное задание (ТР1 — ти-

Страницы