Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Алгоритмы построения базисов в подпространствах 121
4. В качестве побочного результата работы алгоритма получается
(по формуле Грассмана) значение размерности d
3
для суммы W
3
данных подпространств:
d
3
= d
1
+ d
2
− d
0
. (10.30)
Замечание 10.4. Опишем особые ситуции, которые могут возник-
нуть по ходу работы алгоритмов 10.1 — 10.6 и повлечь то, что можно
назвать досрочным выходом из алгоритма.
1. В работе алгоритма 10.1 особым можно считать случай, ко-
гда матрица A, определяющая (первым способом) линейное подпро-
странство W = L
0
A
6 V = P
n
, имеет максимально возможный ранг:
rank(A) = n. Тогда подпространство W является нулевым, искомый
базис — пустым.
2. Аналогично, в работе алгоритма 10.2 особым будет случай,
когда максимальный ранг (равный n) имеет матрица G, задающая
(вторым способом) подпространство W = R
G
6 V = P
n
. В этом
случае подпространство W совпадает со всем пространством V , и
алгоритм выдаст какой-то базис в P
n
. Но можно этого не дожидать-
ся и взять естественный базис E
n
.
3. О крайностях, возможных в работе алгоритма 10.3, мы уже
говорили в замечании 10.1.
4. В работе алгоритма 10.4 может проявиться несколько иная осо-
бенность. Пусть вложенные подпространства W
1
и W
2
(W
1
6 W
2
)
оба заданы вторым способом (не обязательно экономно): W
i
= R
G
i
(i = 1, 2). По предположению, rank(G
1
) 6 rank(G
2
) = rank(G
1
|G
2
).
В ходе работы алгоритма может встретиться ситуация, когда
rank(G
1
) = rank(G
1
|G
2
). Это будет свидетельствовать о совпадении
подпространств: W
1
= W
2
; добавочные векторы в этом случае от-
сутствуют; прямое дополнение к W
1
в W
2
тривиально: W
2
= W
1
⊕O.
На самом деле ситуация еще сложнее (и интереснее). По "внеш-
нему виду" матриц G
1
, G
2
никак не усматривается взаимное распо-
ложение соответствующих подпространств W
1
, W
2
и, в частности,
наличие (или отсутствие) включения (или даже равенства) между
ними. На том, как "разъяснить" этот вопрос, мы остановимся чуть
ниже, а пока подумаем, что дает алгоритм 10.4 без дополнительно-
го предположения о наличии включения W
1
6 W
2
. Ответ: в такой
ситуации алгоритм 10.4 сводится к алгоритму 10.5 и выдает базис в
прямом дополнении к W
1
в сумме W
3
= W
1
+ W
2
. (Наличие включе-
ния W
1
6 W
2
влечет равенство W
3
= W
2
; см. замечания 8.1 и 8.2.)
§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах         121

   4. В качестве побочного результата работы алгоритма получается
(по формуле Грассмана) значение размерности d3 для суммы W3
данных подпространств:

                         d3 = d1 + d2 − d0 .                 (10.30)

   Замечание 10.4. Опишем особые ситуции, которые могут возник-
нуть по ходу работы алгоритмов 10.1 — 10.6 и повлечь то, что можно
назвать досрочным выходом из алгоритма.
   1. В работе алгоритма 10.1 особым можно считать случай, ко-
гда матрица A, определяющая (первым способом) линейное подпро-
странство W = L0A 6 V = P n , имеет максимально возможный ранг:
rank(A) = n. Тогда подпространство W является нулевым, искомый
базис — пустым.
   2. Аналогично, в работе алгоритма 10.2 особым будет случай,
когда максимальный ранг (равный n) имеет матрица G, задающая
(вторым способом) подпространство W = RG 6 V = P n . В этом
случае подпространство W совпадает со всем пространством V , и
алгоритм выдаст какой-то базис в P n . Но можно этого не дожидать-
ся и взять естественный базис En .
   3. О крайностях, возможных в работе алгоритма 10.3, мы уже
говорили в замечании 10.1.
   4. В работе алгоритма 10.4 может проявиться несколько иная осо-
бенность. Пусть вложенные подпространства W1 и W2 (W1 6 W2 )
оба заданы вторым способом (не обязательно экономно): Wi = RGi
(i = 1, 2). По предположению, rank(G1 ) 6 rank(G2 ) = rank(G1 |G2 ).
   В ходе работы алгоритма может встретиться ситуация, когда
rank(G1 ) = rank(G1 |G2 ). Это будет свидетельствовать о совпадении
подпространств: W1 = W2 ; добавочные векторы в этом случае от-
сутствуют; прямое дополнение к W1 в W2 тривиально: W2 = W1 ⊕O.
   На самом деле ситуация еще сложнее (и интереснее). По "внеш-
нему виду" матриц G1 , G2 никак не усматривается взаимное распо-
ложение соответствующих подпространств W1 , W2 и, в частности,
наличие (или отсутствие) включения (или даже равенства) между
ними. На том, как "разъяснить" этот вопрос, мы остановимся чуть
ниже, а пока подумаем, что дает алгоритм 10.4 без дополнительно-
го предположения о наличии включения W1 6 W2 . Ответ: в такой
ситуации алгоритм 10.4 сводится к алгоритму 10.5 и выдает базис в
прямом дополнении к W1 в сумме W3 = W1 + W2 . (Наличие включе-
ния W1 6 W2 влечет равенство W3 = W2 ; см. замечания 8.1 и 8.2.)

Страницы