Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 10 Алгоритмы построения базисов в подпространствах 119
Этот базис можно охарактеризовать, как базис в W
3
, продолжа-
ющий заданный базис в W
1
. Формула
W
3
= R
B
3
(10.20)
представляет собой экономное задание вторым способым для суммы
W
3
= W
1
+ W
2
.
4. Побочным результатом работы данного алгоритма оказывается
значение размерности d
0
для пересечения W
0
= W
1
∩W
2
данных под-
пространств. Оно находится с помощью формулы Грассмана (8.2):
d
0
= d
1
+ d
2
− d
3
. (10.21)
Замечание 10.3. В алгоритме 10.5 подпространства W
1
и W
2
рав-
ноправны и конкатенацию вида (10.13) можно записывать, начиная
с матрицы B
2
. Тогда, в результате работы алгоритма, будет получен
базис в W
3
, продолжающий заданный базис в W
2
.
Переходим к заключительному алгоритму в данной серии, обес-
печивающему построение базиса в пересечении двух линейных под-
пространств.
А л г о р и т м 10. 6.
Построение базиса в пересечении W
0
= W
1
∩ W
2
двух линейных подпространств W
1
, W
2
6 V
Для того чтобы можно было применить описываемый ниже ал-
горитм, линейные подпространства W
1
и W
2
должны быть заданы
первым способом. Желательно (но не обязательно) экономное зада-
ние:
W
1
= L
0
A
1
; W
2
= L
0
A
2
, (10.22)
где матрицы A
1
и A
2
имеют полные ранги по строкам и размеры
r
1
× n и r
2
× n соответственно.
(Если одно или оба данных подпространства заданы вторым спо-
собом, то следует предварительно применить алгоритм 10.3.)
Вектор x ∈ V принадлежит подпространству W
i
(i = 1, 2) тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет однородной с.л.у.
A
i
r
i
×n
· x
n×1
= 0
r
i
×1
; i = 1, 2. (10.23)
§ 10   Алгоритмы построения базисов в подпространствах       119

  Этот базис можно охарактеризовать, как базис в W3 , продолжа-
ющий заданный базис в W1 . Формула

                               W3 = RB3                    (10.20)

представляет собой экономное задание вторым способым для суммы
W3 = W1 + W2 .
  4. Побочным результатом работы данного алгоритма оказывается
значение размерности d0 для пересечения W0 = W1 ∩W2 данных под-
пространств. Оно находится с помощью формулы Грассмана (8.2):

                         d0 = d1 + d2 − d3 .               (10.21)

   Замечание 10.3. В алгоритме 10.5 подпространства W1 и W2 рав-
ноправны и конкатенацию вида (10.13) можно записывать, начиная
с матрицы B2 . Тогда, в результате работы алгоритма, будет получен
базис в W3 , продолжающий заданный базис в W2 .
  Переходим к заключительному алгоритму в данной серии, обес-
печивающему построение базиса в пересечении двух линейных под-
пространств.


А л г о р и т м 10. 6.
Построение базиса в пересечении W0 = W1 ∩ W2
двух линейных подпространств W1 , W2 6 V

  Для того чтобы можно было применить описываемый ниже ал-
горитм, линейные подпространства W1 и W2 должны быть заданы
первым способом. Желательно (но не обязательно) экономное зада-
ние:
                     W1 = L0A1 ; W2 = L0A2 ,            (10.22)
где матрицы A1 и A2 имеют полные ранги по строкам и размеры
r1 × n и r2 × n соответственно.
   (Если одно или оба данных подпространства заданы вторым спо-
собом, то следует предварительно применить алгоритм 10.3.)
   Вектор x ∈ V принадлежит подпространству Wi (i = 1, 2) тогда и
только тогда, когда он удовлетворяет однородной с.л.у.

                      Ai     · x = 0 ; i = 1, 2.           (10.23)
                     ri ×n    n×1   ri ×1

Страницы