Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

116 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Построение базиса в некотором прямом дополнении
к подпространству W
1
в подпространстве W
2
Рассмотрим два вложенных подпространства
W
1
6 W
2
6 V = P
n
, (10.10)
каждое из которых задано вторым способом:
W
1
= R
B
1
; W
2
= R
B
2
, (10.11)
причем матрицы B
1
и B
2
имеют полные ранги по столбцам и разме-
ры n ×r
1
и n ×r
2
соответственно, где r
1
= dim(W
1
) и r
2
= dim(W
2
),
т. е. описания (10.11) являются экономными. (Впрочем, данный ал-
горитм, как и предыдущий, с небольшими модификациями, будет
работать и в случае наличия в данных матрицах лишних столбцов.)
Будем стремиться изменить матрицу B
2
и перейти к другому зада-
нию подпространства W
2
:
W
2
= R
B
0
2
, (10.12)
такому, в котором (n × r
2
)-матрица B
0
2
снова имеет полный ранг по
столбцам, но, кроме того, содержит B
1
в качестве (начальной слева)
подматрицы. Тогда столбцы B
0
2
будут составлять искомый базис в
W
2
, продолжающий базис в W
1
, образованный столбцами B
1
, а до-
бавочные столбцы c
1
, c
2
, ... , c
p
(где p = r
2
−r
1
), дополняющие базис
в W
1
до базиса в W
2
, составят базис некоторого прямого дополнения
U к подпространству W
1
в подпространстве W
2
. Матрица C, раз-
мера n ×p, составленная из добавочных столбцов, будет определять
(вторым способом) подпространство U.
Опишем ход работы алгоритма более детально.
1. Составляем матрицу-конкатенацию
M
n×(r
1
+r
2
)
=
µ
B
1
n×r
1
¯
¯
¯
¯
B
2
n×r
2
(10.13)
столбцы которой образуют (избыточную) порождающую с.в. для W
2
.
Найдем подсистему в этой с.в., являющуюся базисом в W
2
и содер-
жащую все столбцы матрицы B
1
.
2. С этой целью приводим матрицу (10.13), с помощью элемен-
тарных преобразований над строками, к ступенчатому виду M
0
.
116     Линейные пространства. Базисы и размерности               Гл. 1

Построение базиса в некотором прямом дополнении
к подпространству W1 в подпространстве W2

  Рассмотрим два вложенных подпространства

                         W1 6 W2 6 V = P n ,                     (10.10)

каждое из которых задано вторым способом:

                        W1 = RB1 ; W2 = RB2 ,                    (10.11)

причем матрицы B1 и B2 имеют полные ранги по столбцам и разме-
ры n × r1 и n × r2 соответственно, где r1 = dim(W1 ) и r2 = dim(W2 ),
т. е. описания (10.11) являются экономными. (Впрочем, данный ал-
горитм, как и предыдущий, с небольшими модификациями, будет
работать и в случае наличия в данных матрицах лишних столбцов.)
Будем стремиться изменить матрицу B2 и перейти к другому зада-
нию подпространства W2 :

                               W2 = RB20 ,                       (10.12)

такому, в котором (n × r2 )-матрица B20 снова имеет полный ранг по
столбцам, но, кроме того, содержит B1 в качестве (начальной слева)
подматрицы. Тогда столбцы B20 будут составлять искомый базис в
W2 , продолжающий базис в W1 , образованный столбцами B1 , а до-
бавочные столбцы c1 , c2 , ... , cp (где p = r2 − r1 ), дополняющие базис
в W1 до базиса в W2 , составят базис некоторого прямого дополнения
U к подпространству W1 в подпространстве W2 . Матрица C, раз-
мера n × p, составленная из добавочных столбцов, будет определять
(вторым способом) подпространство U.
   Опишем ход работы алгоритма более детально.
   1. Составляем матрицу-конкатенацию
                                      µ      ¯    ¶
                                             ¯
                           M        = B1 ¯¯ B2                    (10.13)
                       n×(r1 +r2 )   n×r1 n×r2


столбцы которой образуют (избыточную) порождающую с.в. для W2 .
Найдем подсистему в этой с.в., являющуюся базисом в W2 и содер-
жащую все столбцы матрицы B1 .
   2. С этой целью приводим матрицу (10.13), с помощью элемен-
тарных преобразований над строками, к ступенчатому виду M 0 .

Страницы