Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 114 стр.

114    Линейные пространства. Базисы и размерности         Гл. 1

матрица A, размера m × n, где m = n − r, будет определять нуль-
пространство (ядро) L0A , которое, во-первых, содержит W, а, во-
вторых, имеет такую же размерность: n − (n − r) = r. Тем самым
мы добьемся равенства W = L0A .
  2. Транспонируем обе части уравнения (10.8), переходя к привыч-
ной записи с.л.у., с расположением неизвестных в столбец:

                         Bt · a = 0 ,                     (10.8t )
                         r×n    n×1   r×1

где
                                 
                              α1
                             α 
                           a= 2
                              ···
                              αn
— "переделанная в столбец" неизвестная строка матрицы A.
   3. Решая с.л.у. (10.8t ), определяем фундаментальную матрицу
F , размера n × (n − r). Эта матрица будет иметь полный ранг по
столбцам; искомая матрица A, которая должна иметь полный ранг
по строкам, получается из F транспонированием:

                               A = F t.                    (10.9)

  4. Необязательный, но полезный этап: проведем контроль пра-
вильности вычислений с помощью проверки выполнения матричного
равенства
                        A · G = O ,
                     (n−r)×n    n×k   (n−r)×k

где можно было вторым множителем взять матрицу B, а можно —
и исходную матрицу G.

   Замечание 10.1. Последний алгоритм заметно сложнее двух пре-
дыдущих. Но он очень важен для дальнейшего и, в частности, будет
играть ключевую роль в описании алгоритма 10.6. В связи с этим
вам рекомендуется вернуться к более детальному изложению данно-
го вопроса в п. 13.4 пособия [A1 ].
   Запомните, что размерность линейного подпространства есть
мощность (любого) базиса в этом подпространстве и, следователь-
но, равна количеству столбцов в матрице, экономно задающей дан-
ное подпространство вторым способом.