Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

112 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
1. Приведем, с помощью элементарных преобразований над стро-
ками, данную матрицу A к виду Жордана — Гаусса A
0
r×n
, где число
строк r = rank(A). Тем самым мы получим новое задание W , опять
же первым способом:
W = L
0
A
0
, (10.1
0
)
но экономное (не содержащее лишних уравнений). Другими слова-
ми, от с.л.у. (10.2) мы переходим к равносильной с.л.у.
A
0
r×n
· x
n×1
= 0
r×1
. (10.2
0
)
2. Решим с.л.у. (10.2
0
) (см. [A
1
, п. 13.2]) и сформируем фундамен-
тальную матрицу F , размера n × d, где d = n − r, затем перейдем
ко второму способу задания данного подпространства:
W = R
F
, (10.3)
в виде линейной оболочки векторов-столбцов матрицы F. Эти столб-
цы будут составлять базис W . Полученное представление данного
подпространства вторым способом окажется, по построению, эко-
номным (не будет лишних порождающих столбцов).
3. Размерность данного подпространства определяется формулой:
dim(W ) = d = n − r = n − rank(A) = rank(F ). (10.4)
А л г о р и т м 10. 2.
Построение базиса в линейном подпространстве,
заданном вторым способом: W = R
G
6 P
n
Рассмотрим (n×k)-матрицу G с элементами из поля P и линейное
подпространство, являющееся линейной оболочкой столбцов матри-
цы G :
W = R
G
= hg
1
, g
2
, ... , g
k
i 6 P
n
. (10.5)
1. Приведем матрицу G к ступенчатому виду (с помощью эле-
ментарных преобразований над строками, хотя можно допустить и
перестановки столбцов, если позаботиться о метках для них, сохра-
няющих память об изначальной нумерации). Определим базисные
112     Линейные пространства. Базисы и размерности              Гл. 1

  1. Приведем, с помощью элементарных преобразований над стро-
ками, данную матрицу A к виду Жордана — Гаусса A0 , где число
                                                        r×n
строк r = rank(A). Тем самым мы получим новое задание W , опять
же первым способом:
                           W = L0A0 ,                    (10.10 )
но экономное (не содержащее лишних уравнений). Другими слова-
ми, от с.л.у. (10.2) мы переходим к равносильной с.л.у.

                            A0 · x = 0 .                        (10.20 )
                           r×n   n×1   r×1


   2. Решим с.л.у. (10.20 ) (см. [A1 , п. 13.2]) и сформируем фундамен-
тальную матрицу F , размера n × d, где d = n − r, затем перейдем
ко второму способу задания данного подпространства:

                              W = RF ,                           (10.3)

в виде линейной оболочки векторов-столбцов матрицы F. Эти столб-
цы будут составлять базис W . Полученное представление данного
подпространства вторым способом окажется, по построению, эко-
номным (не будет лишних порождающих столбцов).
   3. Размерность данного подпространства определяется формулой:

           dim(W ) = d = n − r = n − rank(A) = rank(F ).         (10.4)



А л г о р и т м 10. 2.
Построение базиса в линейном подпространстве,
заданном вторым способом: W = RG 6 P n

  Рассмотрим (n×k)-матрицу G с элементами из поля P и линейное
подпространство, являющееся линейной оболочкой столбцов матри-
цы G :
                 W = RG = hg1 , g2 , ... , gk i 6 P n .  (10.5)
  1. Приведем матрицу G к ступенчатому виду (с помощью эле-
ментарных преобразований над строками, хотя можно допустить и
перестановки столбцов, если позаботиться о метках для них, сохра-
няющих память об изначальной нумерации). Определим базисные

Страницы