Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

134 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Далее, применяя к матрицам B
1
и B
2
алгоритм 10.5, мы получили
бы матрицу
B
3
=
1 1 −1 −1
−1 1 1 0
1 1 0 1
−1 1 0 0
,
содержащую базис в W
3
= V, продолжающий исходный базис в W
1
.
Матрица B
3
содержит в качестве начальной подматрицы (одно-
столбцовую) матрицу B
0
. Следовательно, в роли матрицы B
4
(со-
держащей базис в некотором прямом дополнении к W
0
в W
3
) может
выступить подматрица из трех последних столбцов B
3
. Убедитесь
сами, что
A
4
= ( −
1
3
−
1
3
−
1
3
1 ) .
Есть, однако, другая возможность. Тот факт, что сумма
W
3
совпа-
дает со всем пространством V, позволяет выбрать в ней естественный
базис, т. е. заменить B
3
на единичную матрицу: B
0
3
= E
4
.
Следует иметь в виду, что этот базис уже не будет продолжать
выбранный базис в пересечении. И прямое дополнение W
0
4
к W
0
получится другим. Если мы применим алгоритм 10.4 к матрицам
B
0
и B
0
3
, то получим:
B
0
4
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
; A
0
4
= ( 0 0 0 1 ) ,
т. е. W
0
4
оказывается заданным одним уравнением x
4
= 0.
Пример 11.2. Рассмотрим в пространстве V = R
5
подпростран-
ства W
1
= R
G
и W
2
= L
0
H
, где
G =
1 1
−1 1
0 0
0 0
0 0
; H =
1 1 0 0 0
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
.
Как и в предыдущем примере, имеем B
1
= G. Применяя алгоритм
134    Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

  Далее, применяя к матрицам B1 и B2 алгоритм 10.5, мы получили
бы матрицу
                                        
                           1 1 −1 −1
                         −1 1 1       0 
                   B3 =                 ,
                           1 1 0       1
                          −1 1 0       0
содержащую базис в W3 = V, продолжающий исходный базис в W1 .
   Матрица B3 содержит в качестве начальной подматрицы (одно-
столбцовую) матрицу B0 . Следовательно, в роли матрицы B4 (со-
держащей базис в некотором прямом дополнении к W0 в W3 ) может
выступить подматрица из трех последних столбцов B3 . Убедитесь
сами, что
                   A4 = ( − 31 − 13 − 31 1 ) .

  Есть, однако, другая возможность. Тот факт, что сумма W3 совпа-
дает со всем пространством V, позволяет выбрать в ней естественный
базис, т. е. заменить B3 на единичную матрицу: B30 = E4 .
  Следует иметь в виду, что этот базис уже не будет продолжать
выбранный базис в пересечении. И прямое дополнение W40 к W0
получится другим. Если мы применим алгоритм 10.4 к матрицам
B0 и B30 , то получим:

                              
                     1   0   0
                   0    1   0
             B40 =                 0
                                ; A4 = ( 0   0   0 1),
                     0   0   1
                     0   0   0

т. е. W40 оказывается заданным одним уравнением x4 = 0.

   Пример 11.2. Рассмотрим в пространстве V = R5 подпростран-
ства W1 = RG и W2 = L0H , где

                          
                1        1                             
               −1       1       1      1 0      0   0
                              
            G= 0        0; H = 0       1 0      0   1.
                          
                0        0        1      0 0      0   1
                0        0

  Как и в предыдущем примере, имеем B1 = G. Применяя алгоритм

Страницы