Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 11 Задачи на построение базисов в подпространствах 133
В заключение заметим, что особых случаев, выявление которых
предписывается заданием ТР1, в разобранном выше примере нет
(примеры с особенностями мы разберем в следующем пункте). По-
мимо этого, порекомендуем исполнителям расчета следующую про-
верку: для каждого из номеров i = 0, 1, 2, 3, 4 должно выполняться
матричное равенство A
i
· B
i
= O, причем ранги матриц A
i
и B
i
в
сумме должны составлять n = dim(V ).
11.2. Особые случаи расположения подпространств в рас-
чете ТР1. Особенности, вызывающие досрочный выход из алго-
ритмов 10.1 — 10.6, охарактеризованы в замечании 10.4. Ниже при-
водятся простые примеры, в которых эти особенности усматривают-
ся и исследуются почти без вычислений.
Пример 11.1. Пусть в обозначениях предыдущего пункта
n = 4; G =
1 1
−1 1
1 1
−1 1
; H = ( 1 1 1 1 ) .
Матрица G имеет, очевидно, полный ранг по столбцам; поэтому
B
1
= G и d
1
= 2. Матрице H отвечает однородная линейная система
из одного уравнения: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0. Первый столбец мат-
рицы G удовлетворяет этому уравнению, а второй — нет. Значит,
размерность пересечения равна в точности единице, а размерность
суммы — четырем.
Сумма оказывается полной: W
3
= V ; ее коразмерность равна ну-
лю и матрица A
3
является пустой. Пересечение W
0
имеет базис,
представляемый матрицей
B
0
=
1
−1
1
−1
.
Если бы мы выполняли расчет "прямолинейно", не взирая на осо-
бенности, то, решив указанное выше уравнение, мы получили бы
базис в W
2
, записанный в матрицу
B
2
=
−1 −1 −1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
§ 11   Задачи на построение базисов в подпространствах       133

  В заключение заметим, что особых случаев, выявление которых
предписывается заданием ТР1, в разобранном выше примере нет
(примеры с особенностями мы разберем в следующем пункте). По-
мимо этого, порекомендуем исполнителям расчета следующую про-
верку: для каждого из номеров i = 0, 1, 2, 3, 4 должно выполняться
матричное равенство Ai · Bi = O, причем ранги матриц Ai и Bi в
сумме должны составлять n = dim(V ).
   11.2. Особые случаи расположения подпространств в рас-
чете ТР1. Особенности, вызывающие досрочный выход из алго-
ритмов 10.1 — 10.6, охарактеризованы в замечании 10.4. Ниже при-
водятся простые примеры, в которых эти особенности усматривают-
ся и исследуются почти без вычислений.
   Пример 11.1. Пусть в обозначениях предыдущего пункта
                            
                        1 1
                      −1 1 
          n = 4; G =        ; H = (1 1 1 1).
                        1 1
                       −1 1
  Матрица G имеет, очевидно, полный ранг по столбцам; поэтому
B1 = G и d1 = 2. Матрице H отвечает однородная линейная система
из одного уравнения: x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Первый столбец мат-
рицы G удовлетворяет этому уравнению, а второй — нет. Значит,
размерность пересечения равна в точности единице, а размерность
суммы — четырем.
  Сумма оказывается полной: W3 = V ; ее коразмерность равна ну-
лю и матрица A3 является пустой. Пересечение W0 имеет базис,
представляемый матрицей
                                   
                                  1
                               −1 
                         B0 =      .
                                  1
                                 −1
  Если бы мы выполняли расчет "прямолинейно", не взирая на осо-
бенности, то, решив указанное выше уравнение, мы получили бы
базис в W2 , записанный в матрицу
                                     
                             −1 −1 −1
                            1    0 0 
                      B2 =           .
                              0   1 0
                              0   0 1

Страницы