Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 11 Задачи на построение базисов в подпространствах 135
10.1, т. е. решая с.л.у. H ·x = 0, получаем:
B
2
=
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
.
Из вида матриц B
1
и B
2
ясно, что пересечение W
0
тривиально
(d
0
= 0; матрица B
0
пуста). Сумма W
3
является прямой (см. п. 9.1):
W
0
= O; W
3
= W
1
⊕ W
3
.
Матрица B
3
получается простой конкатенацией матриц B
1
и B
2
.
Прямое дополнение к (нулевому) подпространству W
0
в подпрос-
транстве W
3
совпадает с W
3
; матрица B
4
совпадает с B
3
.
Пример 11.3. Пусть
n = 4; G =
1 0
1 1
1 1
0 1
; H = ( 0 1
−1 0 )
.
Подпространство W
1
двумерно, а W
3
— трехмерно (поскольку за-
дается единственным уравнением x
2
−x
3
= 0). Оба базисных вектора
W
1
удовлетворяют этому уравнению. Значит, W
1
является подпро-
странством в W
2
. Следовательно, сумма W
3
совпадает с б´ольшим
из подпространств, W
2
, а пересечение W
0
— с меньшим, W
1
. В част-
ности, можно взять B
3
= B
2
и B
0
= B
1
. Убедитесь самостоятельно,
что некоторе прямое дополнение к W
0
= W
1
в W
3
= W
2
может быть
задано матрицей
B
4
=
1
0
0
0
.
11.3. Пакет Maple-процедур для решения ТР1. Пакет Lin-
earAlgebra располагает исчерпывающими средствами для решения
всех пунктов типового расчета. Например, команда NullSpace поз-
воляет найти базис в ядре (нуль-пространстве) матрицы, т. е. вы-
полняет ту же работу, что и алгоритм 10.1; команда ColumnSpace
§ 11    Задачи на построение базисов в подпространствах        135

10.1, т. е. решая с.л.у. H · x = 0, получаем:
                                         
                                    0   0
                                  0    0
                                         
                             B2 =  1   0.
                                         
                                    0   1
                                    0   0

   Из вида матриц B1 и B2 ясно, что пересечение W0 тривиально
(d0 = 0; матрица B0 пуста). Сумма W3 является прямой (см. п. 9.1):

                       W0 = O; W3 = W1 ⊕ W3 .

  Матрица B3 получается простой конкатенацией матриц B1 и B2 .
Прямое дополнение к (нулевому) подпространству W0 в подпрос-
транстве W3 совпадает с W3 ; матрица B4 совпадает с B3 .

   Пример 11.3. Пусть
                                
                          1    0
                        1     1
             n = 4; G =         ; H = (0      1   −1   0).
                          1    1
                          0    1

   Подпространство W1 двумерно, а W3 — трехмерно (поскольку за-
дается единственным уравнением x2 −x3 = 0). Оба базисных вектора
W1 удовлетворяют этому уравнению. Значит, W1 является подпро-
странством в W2 . Следовательно, сумма W3 совпадает с бо́льшим
из подпространств, W2 , а пересечение W0 — с меньшим, W1 . В част-
ности, можно взять B3 = B2 и B0 = B1 . Убедитесь самостоятельно,
что некоторе прямое дополнение к W0 = W1 в W3 = W2 может быть
задано матрицей
                                  
                                   1
                                 0
                            B4 =   .
                                   0
                                   0

   11.3. Пакет Maple-процедур для решения ТР1. Пакет Lin-
earAlgebra располагает исчерпывающими средствами для решения
всех пунктов типового расчета. Например, команда NullSpace поз-
воляет найти базис в ядре (нуль-пространстве) матрицы, т. е. вы-
полняет ту же работу, что и алгоритм 10.1; команда ColumnSpace

Страницы