Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 141
Правая дистрибутивность (ix ) вытекает непосредственно из оп-
ределения поточечной суммы отображений и имеет место для про-
извольных (не обязательно линейных) ϕ, ψ и χ:
((ϕ + ψ) ◦ χ)(u) = ((ϕ + ψ)(χ(u)) = ϕ(χ(u)) + ψ(χ(u)) =
= (ϕ ◦ χ)(u) + (ψ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ χ + ψ ◦ χ)(u)
для любого u ∈ U.
В то же время, доказательство левой дистрибутивности (x ) ис-
пользует линейность отображения ϕ:
(ϕ ◦ (ψ + χ))(u) = ϕ ((ψ + χ)(u)) = ϕ(ψ(u) + χ(u))
(1.9)
===
= ϕ(ψ(u)) + ϕ(χ(u)) = (ϕ ◦ ψ)(u) + (ϕ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ ψ + ϕ ◦ χ)(u).
Напомним также (об этом говорилось в п. 15.3 пособия [A
1
]), что
ассоциативность композиции (xii ) имеет место для произвольных
отображений. Разобраться со свойствами (xi ) и (xiii ) будет вашей
работой. ¤
Замечание 12.1. В силу свойств (i ) — (viii ), всякое множество
линейных операторов L(V, W ) является линейным пространством
относительно поточечного сложения и умножения на скаляр (над
тем же полем, над которым заданы линейные пространства V и W ).
При W = V множество L(V ) = L(V, V ) линейных эндоморфиз-
мов пространства V оказывается кольцом относительно сложения и
композиции эндоморфизмов.
Замечание 12.2. Обозначения законов (i ) — (xiii ) являются мне-
монической отсылкой к аналогичным законам (i) — (xiii) алгебры
матриц (см. п. 2.2 в [A
1
]). Здесь, в отличие от случая матриц, в
обозначениях использован курсив. Сходство упомянутых законов
отнюдь не является случайным, и мы объясним его в следующем
пункте.
Между тем, внимательные читатели, вероятно, заметят, что для
алгебры матриц мы формулировали 17 законов (последние четыре
относились к операции транспонирования матриц). Что соответ-
ствует законам (xiv) — (xvii) в алгебре линейных операторов? Ответ
на этот вопрос будет дан значительно позже, в четвертой главе на-
стоящего пособия. (Так что очень любознательным читателям при-
дется немного потерпеть.)
§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц            141

  Правая дистрибутивность (ix ) вытекает непосредственно из оп-
ределения поточечной суммы отображений и имеет место для про-
извольных (не обязательно линейных) ϕ, ψ и χ:

  ((ϕ + ψ) ◦ χ)(u) = ((ϕ + ψ)(χ(u)) = ϕ(χ(u)) + ψ(χ(u)) =
                     = (ϕ ◦ χ)(u) + (ψ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ χ + ψ ◦ χ)(u)

для любого u ∈ U.
  В то же время, доказательство левой дистрибутивности (x ) ис-
пользует линейность отображения ϕ:
                                                    (1.9)
  (ϕ ◦ (ψ + χ))(u) = ϕ((ψ + χ)(u)) = ϕ(ψ(u) + χ(u)) ===
= ϕ(ψ(u)) + ϕ(χ(u)) = (ϕ ◦ ψ)(u) + (ϕ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ ψ + ϕ ◦ χ)(u).

   Напомним также (об этом говорилось в п. 15.3 пособия [A1 ]), что
ассоциативность композиции (xii ) имеет место для произвольных
отображений. Разобраться со свойствами (xi ) и (xiii ) будет вашей
работой. ¤

  Замечание 12.1. В силу свойств (i ) — (viii ), всякое множество
линейных операторов L(V, W ) является линейным пространством
относительно поточечного сложения и умножения на скаляр (над
тем же полем, над которым заданы линейные пространства V и W ).
  При W = V множество L(V ) = L(V, V ) линейных эндоморфиз-
мов пространства V оказывается кольцом относительно сложения и
композиции эндоморфизмов.
   Замечание 12.2. Обозначения законов (i ) — (xiii ) являются мне-
монической отсылкой к аналогичным законам (i) — (xiii) алгебры
матриц (см. п. 2.2 в [A1 ]). Здесь, в отличие от случая матриц, в
обозначениях использован курсив. Сходство упомянутых законов
отнюдь не является случайным, и мы объясним его в следующем
пункте.
   Между тем, внимательные читатели, вероятно, заметят, что для
алгебры матриц мы формулировали 17 законов (последние четыре
относились к операции транспонирования матриц). Что соответ-
ствует законам (xiv) — (xvii) в алгебре линейных операторов? Ответ
на этот вопрос будет дан значительно позже, в четвертой главе на-
стоящего пособия. (Так что очень любознательным читателям при-
дется немного потерпеть.)

Страницы