Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 143 стр.

§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц           143

   Определение 12.2. Матрица (12.9) называется матрицей ли-
нейного отображения (12.3) относительно базисов (12.4) и (12.5).
(Говорят также, что матрица A отвечает оператору ϕ в базисах
B и C.)
   Замечание 12.3. Определение 12.2, подобно многим другим, ра-
нее изученным определениям абстрактной линейной алгебры, не
является для нас принципиально новым. В первом семестре, зани-
маясь линейной алгеброй конкретных (арифметических) линейных
пространств, мы уже встречались с понятием матрицы линейного
отображения ϕ : P n → P m относительно естественных базисов En
и Em (см. [A1 , п. 15.2]). Важность абстрактного подхода состоит в
том, что даже в арифметических линейных пространствах матри-
ца линейного отображения относительно других, "неестественных"
базисов может оказаться существенно проще, нежели относительно
естественных. Более того, отыскание таких базисов можно считать
одной из основных практических задач линейной алгебры, посколь-
ку именно линейные отображения (операторы) являются основными
"действующими лицами" этой науки. Матрица же служит "портре-
том" (оцифровкой) линейного оператора. Базисы можно сравнить
с "приборами" (цифровыми камерами), от выбора которых суще-
ственно зависит "качество" оцифровки. Желательно подобрать ба-
зисы так, чтобы важнейшие свойства оператора легко определялись
(усматривались) по его матрице.
  Предложение 12.2. Пусть V и W — конечномерные линейные
пространства (размерностей n и m соответственно) над полем P ,
B и C — некоторые базисы в этих пространствах. Сопоставление
линейному оператору ϕ ∈ L(V, W ) матрицы A ∈ Mat(m, n; P ), отве-
чающей ϕ в базисах B и C, задает линейный изоморфизм

             µ : L(V, W ) −→ Mat(m, n; P ); µ(ϕ) = A.        (12.10)

   В частности, линейное пространство L(V, W ) конечномерно и име-
ет размерность mn. Базис в нем составляют линейные операторы

              εij : V −→ W (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n),   (12.11)

заданные (в базисах B и C) формулами

                    εij (bk ) = δjk ci (k = 1, ..., n),      (12.12)

где δjk — символ Кронекера.