Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

144 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
Доказательство. Линейный оператор ϕ переводит базис B в с.в.
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
n
]. (12.13)
Матрица (12.9) составлена из координатных столобцов векторов
системы (12.13) в базисе C. Если последний базис фиксирован, то
определена биекция между системами векторов вида (12.13) и мат-
рицами вида
A
m×n
= (a
1
|a
2
| ... |a
n
) . (12.14)
С другой стороны, согласно теореме 6.1 (ОТЛО), линейный опе-
ратор ϕ полностью определяется своими значениями на базисных
векторах, т. е. системой векторов A = ϕ(B), или, что равносиль-
но, — матрицей A. Следовательно, отображение (12.10) инъективно:
разным линейным операторам отвечают разные матрицы.
Из той же ОТЛО вытекает и сюръективность (12.10): по любой
матрице (12.14) однозначно определяется с.в. (12.13) в пространст-
ве W, по которой можно построить линейное отображение (12.3) та-
кое, что ϕ(B) = A.
Остается убедиться в линейности отображения µ. Пусть заданы
два линейных оператора ϕ, ϕ
0
∈ L(V, W ), которым соответствуют
матрицы A, A
0
∈ Mat(m, n; P ). Сумме ϕ + ϕ
0
этих операторов будет
соответствовать матрица, составленная из векторов-столбцов
(ϕ + ϕ
0
)(b
j
) = ϕ(b
j
) + ϕ
0
(b
j
) = ϕ(b
j
) + ϕ
0
(b
j
) = a
j
+ a
0
j
,
т. е. не что иное как A + A
0
. Аналогичным рассуждением доказыва-
ется, что оператору λ · ϕ (λ ∈ P ) отвечает матрица λ · A.
Итак, выбор базисов (12.4) и (12.5) определяет линейный изомор-
физм (12.10) между линейным пространством линейных операторов
L(V, W ) и линейным пространством матриц Mat(m, n; P ).
В пространстве матриц имеется (см. пример 4.1) естественный ба-
зис, составленный из mn матриц E
ij
(i = 1, ..., m; j = 1, ..., n). При
изоморфизме µ этому базису соответствует некоторый базис в про-
странстве L(V, W ), составленный из mn линейных операторов ε
ij
,
таких, что µ(ε
ij
) = E
ij
.
В матрице оператора отражается его действие на базисные векто-
ры. В E
ij
все столбцы, кроме j-го, являются нулевыми, и, значит,
для любого b
k
(k = 1, ..., n; k 6= j) будем иметь
ε
ij
(b
k
) = 0. (12.15a)
144   Линейные отображения конечномерных пространств                           Гл. 2

  Доказательство. Линейный оператор ϕ переводит базис B в с.в.

                             A = [ a1 , a2 , ... , an ].                   (12.13)

  Матрица (12.9) составлена из координатных столобцов векторов
системы (12.13) в базисе C. Если последний базис фиксирован, то
определена биекция между системами векторов вида (12.13) и мат-
рицами вида
                       A = (a1 |a2 | ... |an ) .         (12.14)
                           m×n

   С другой стороны, согласно теореме 6.1 (ОТЛО), линейный опе-
ратор ϕ полностью определяется своими значениями на базисных
векторах, т. е. системой векторов A = ϕ(B), или, что равносиль-
но, — матрицей A. Следовательно, отображение (12.10) инъективно:
разным линейным операторам отвечают разные матрицы.
   Из той же ОТЛО вытекает и сюръективность (12.10): по любой
матрице (12.14) однозначно определяется с.в. (12.13) в пространст-
ве W, по которой можно построить линейное отображение (12.3) та-
кое, что ϕ(B) = A.
   Остается убедиться в линейности отображения µ. Пусть заданы
два линейных оператора ϕ, ϕ 0 ∈ L(V, W ), которым соответствуют
матрицы A, A0 ∈ Mat(m, n; P ). Сумме ϕ + ϕ 0 этих операторов будет
соответствовать матрица, составленная из векторов-столбцов

      (ϕ + ϕ 0 )(bj ) = ϕ(bj ) + ϕ 0 (bj ) = ϕ(bj ) + ϕ 0 (bj ) = aj + a0j ,

т. е. не что иное как A + A0 . Аналогичным рассуждением доказыва-
ется, что оператору λ · ϕ (λ ∈ P ) отвечает матрица λ · A.
   Итак, выбор базисов (12.4) и (12.5) определяет линейный изомор-
физм (12.10) между линейным пространством линейных операторов
L(V, W ) и линейным пространством матриц Mat(m, n; P ).
   В пространстве матриц имеется (см. пример 4.1) естественный ба-
зис, составленный из mn матриц Eij (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n). При
изоморфизме µ этому базису соответствует некоторый базис в про-
странстве L(V, W ), составленный из mn линейных операторов εij ,
таких, что µ(εij ) = Eij .
   В матрице оператора отражается его действие на базисные векто-
ры. В Eij все столбцы, кроме j-го, являются нулевыми, и, значит,
для любого bk (k = 1, ..., n; k 6= j) будем иметь

                                  εij (bk ) = 0.                          (12.15a)

Страницы