Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

146 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
где V, W и U — линейные пространства над полем P , размерностей
n, m и p соответственно. Пусть в этих пространствах зафиксированы
какие-либо базисы B, C и D соответственно, где первые два заданы
списками (12.4) и (12.5), а последний — списком
D = [ d
1
, d
2
, ... , d
p
]. (12.19)
Пусть линейному оператору ϕ отвечает (в базисах B и C) (m × n)-
матрица A, а оператору ψ (в базисах C и D) — (p × m)-матрица H.
Тогда композиции ψ ◦ ϕ будет отвечать (в базисах B и D) (p × n)-
матрица H · A.
Доказательство. Обозначим буквой G (p × n)-матрицу, отвечаю-
щую оператору ψ ◦ ϕ в базисах B и D. Эта матрица составляется из
векторов-столбцов g
j
, где
g
j
= (ψ ◦ ϕ )(b
j
) ∈ U (j = 1, ..., n), (12.20)
а черта над g
j
обозначает координатный столбец, отвечающий "над-
черкиваемому" вектору в базисе D.
Но [см. (12.6)]
ϕ(b
j
) =
m
X
i=1
a
ij
c
i
(j = 1, ..., n), (12.21)
и, аналогично,
ψ(c
i
) =
p
X
k=1
h
ki
d
k
(i = 1, ..., m), (12.22)
и, по тому же принципу,
g
j
=
p
X
k=1
g
kj
d
k
(j = 1, ..., n). (12.23)
Выразим вектор g
j
, подставляя разложения (12.21) и (12.22) в
формулу (12.20):
g
j
= ψ(ϕ(b
j
)) = ψ(
m
X
i=1
a
ij
c
i
) =
m
X
i=1
a
ij
ψ(c
i
) =
=
m
X
i=1
a
ij
Ã
p
X
k=1
h
ki
d
k
!
=
m
X
i=1
Ã
p
X
k=1
a
ij
h
ki
d
k
!
=
p
X
k =1
Ã
m
X
i=1
a
ij
h
ki
d
k
!
=
=
p
X
k=1
Ã
m
X
i=1
h
ki
a
ij
!
d
k
=
p
X
k =1
([H · A]
kj
) d
k
,
146    Линейные отображения конечномерных пространств                                                 Гл. 2

где V, W и U — линейные пространства над полем P , размерностей
n, m и p соответственно. Пусть в этих пространствах зафиксированы
какие-либо базисы B, C и D соответственно, где первые два заданы
списками (12.4) и (12.5), а последний — списком
                                         D = [ d1 , d2 , ... , dp ].                                 (12.19)
  Пусть линейному оператору ϕ отвечает (в базисах B и C) (m × n)-
матрица A, а оператору ψ (в базисах C и D) — (p × m)-матрица H.
  Тогда композиции ψ ◦ ϕ будет отвечать (в базисах B и D) (p × n)-
матрица H · A.
  Доказательство. Обозначим буквой G (p × n)-матрицу, отвечаю-
щую оператору ψ ◦ ϕ в базисах B и D. Эта матрица составляется из
векторов-столбцов gj , где
                              gj = (ψ ◦ ϕ)(bj ) ∈ U (j = 1, ..., n),                                 (12.20)
а черта над gj обозначает координатный столбец, отвечающий "над-
черкиваемому" вектору в базисе D.
   Но [см. (12.6)]
                                                 m
                                                 X
                                ϕ(bj ) =               aij ci (j = 1, ..., n),                       (12.21)
                                                 i=1
и, аналогично,
                                              p
                                              X
                                ψ(ci ) =            hki dk (i = 1, ..., m),                          (12.22)
                                              k=1
и, по тому же принципу,
                                             p
                                             X
                                     gj =          gkj dk (j = 1, ..., n).                           (12.23)
                                             k=1

  Выразим вектор gj , подставляя разложения (12.21) и (12.22) в
формулу (12.20):
                     Xm            m
                                   X
  gj = ψ(ϕ(bj )) = ψ(   aij ci ) =   aij ψ(ci ) =
                                 i=1                   i=1
      m
                  Ã   p
                                     !       m
                                                   Ã   p
                                                                         !       p
                                                                                   Ãm                     !
      X               X                      X         X                         X  X
 =          aij             hki dk       =                 aij hki dk        =               aij hki dk       =
      i=1             k=1                    i=1   k=1                           k=1   i=1
                                                 p
                                                    Ãm                   !          p
                                                 X X                                X
                                             =                 hki aij       dk =         ([H · A]kj ) dk ,
                                                 k=1     i=1                        k=1

Страницы