Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 148 стр.

148   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

пространств и, как следствие, определяют линейный оператор Φ :
P n → P m в арифметических линейных пространствах, изоморфных
данным;
   2) действие оператора Φ задается умножением арифметических
векторов на некоторую (m × n)-матрицу A.
   Второй этап соответствия рассматривался в п. 15.3 пособия [A1 ];
ниже будет детально описан первый этап. Ключевую роль в ариф-
метизации играют координатные изоморфизмы [см. формулы (6.18)
и (6.19)]:
                  β : V −→ P n ; β(x) = xB ; x ∈ V         (12.24)
и
                 γ : W −→ P m ; γ(y) = y C ; y ∈ W,         (12.25)
сопоставляющие векторам их координатные столбцы (относительно
указываемых базисов).
  Оператор Φ, реализующий арифметизацию оператора ϕ, может
быть задан формулой

                    Φ = γ ◦ ϕ ◦ β −1 : P n → P m            (12.26)

и представлен на следующей диаграмме.
                                                       Диагр. 12.1
                                 Φ
                        P n −−−−−−−−−→ P m
                     β ↑↓β −1        γ ↑↓γ −1
                                 ϕ
                        V −−−−−−−−−−→ W
  Линейность оператора Φ немедленно вытекает из (12.26); опишем
подробнее его действие. Любой арифметический вектор x ∈ P n мо-
жет быть представлен в виде x = β(x), где x ∈ V. Поэтому

                           Φ(x) = ϕ(x).                     (12.27)

   Черты, используемые в левой и правой частях последней форму-
лы, имеют различный смысл: x = xB для вектора x ∈ V и y = y C для
вектора y = ϕ(x) ∈ W. Можно утверждать, что запись y = ϕ(x) дей-
ствия исходного оператора в абстрактных линейных пространствах
равносильна формуле
                            y = Φ(x)                      (12.28)
в арифметических линейных пространствах, являющейся, как гово-
рят, координатным выражением действия ϕ.