Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

150 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
базисов B и C и, в то же время, — матрицей оператора Φ относитель-
но естественных базисов E
n
и E
m
в пространствах P
n
и P
m
.
Указанные изоморфизмы согласованы с алгебраическими дейст-
виями композиции линейных операторов и умножения матриц.
Доказательство. Почти все высказанные в предложении утвер-
ждения уже доказаны выше, перед формулировкой. Согласно тео-
реме 12.1 и теореме 15.1 из [A
1
], соответствия ϕ
←−−
−−→A и Φ
←−−
−−→A явля-
ются линейными изоморфизмами, согласованными с композициями
и умножениями. Следовательно, теми же свойствами обладает соот-
ветствие ϕ
←−−
−−→Φ. Впрочем, последний факт легко установить и непо-
средственно: из формулы (12.26) ясна линейность и обратимость это-
го соответствия, а его согласованность с композициями усматривает-
ся из следующей диаграммы (в которой координатный изоморфизм
δ порождается некоторым базисом D в линейном пространстве U).
Диагр. 12.2
P
n
Φ
−−−−−−−−−−→ P
m
Ψ
−−−−−−−−−−→ P
l
β↑↓β
−1
γ↑↓γ
−1
δ↑↓δ
−1
V
ϕ
−−−−−−−−−−→ W
ψ
−−−−−−−−−−→ U
Действительно, если операторам ϕ и ψ отвечают "оцифровки" Φ
и Ψ соответственно, то композиции ψ◦ϕ будет отвечать "оцифровка"
δ ◦ (ψ ◦ ϕ) ◦ β
−1
= (δ ◦ ψ ◦ γ
−1
) ◦ (γ ◦ ϕ ◦ β
−1
) = Ψ ◦ Φ. ¤
12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображе-
ний
Пример 12.1. Рассмотрим пространства многочленов V = R
n
[x]
и W = R
n−1
[x] и оператор дифференцирования ϕ =
0
, который, оче-
видно, можно рассматривать действующим из V в W . В естествен-
ных базисах B = B
n
= [1, x, ..., x
n
] и C = B
n−1
= [1, x, ..., x
n−1
] (см.
примеры 2.4 и 3.1) этому оператору отвечает матрица
A
n×(n+1)
=
0 1 0 0 ... 0 0
0 0 2 0 ... 0 0
0 0 0 3 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... n − 1 0
0 0 0 0 ... 0 n
. (12.34)
150   Линейные отображения конечномерных пространств               Гл. 2

базисов B и C и, в то же время, — матрицей оператора Φ относитель-
но естественных базисов En и Em в пространствах P n и P m .
  Указанные изоморфизмы согласованы с алгебраическими дейст-
виями композиции линейных операторов и умножения матриц.
   Доказательство. Почти все высказанные в предложении утвер-
ждения уже доказаны выше, перед формулировкой. Согласно тео-
реме 12.1 и теореме 15.1 из [A1 ], соответствия ϕ−
                                                 −
                                                 ←→A
                                                  −− и Φ−
                                                        −
                                                        ←→A
                                                         −− явля-
ются линейными изоморфизмами, согласованными с композициями
и умножениями. Следовательно, теми же свойствами обладает соот-
ветствие ϕ−−
           ←→Φ.
            −− Впрочем, последний факт легко установить и непо-
средственно: из формулы (12.26) ясна линейность и обратимость это-
го соответствия, а его согласованность с композициями усматривает-
ся из следующей диаграммы (в которой координатный изоморфизм
δ порождается некоторым базисом D в линейном пространстве U ).
                                                             Диагр. 12.2
                          Φ               Ψ
                 P n −−−−−−−−−−→ P m −−−−−−−−−−→ P l
              β ↑↓β −1         γ ↑↓γ −1        δ ↑↓δ −1
                          ϕ               ψ
                  V −−−−−−−−−−→ W −−−−−−−−−−→ U


   Действительно, если операторам ϕ и ψ отвечают "оцифровки" Φ
и Ψ соответственно, то композиции ψ◦ϕ будет отвечать "оцифровка"
δ ◦ (ψ ◦ ϕ) ◦ β −1 = (δ ◦ ψ ◦ γ −1 ) ◦ (γ ◦ ϕ ◦ β −1 ) = Ψ ◦ Φ. ¤

  12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображе-
ний
  Пример 12.1. Рассмотрим пространства многочленов V = Rn [x]
и W = Rn−1 [x] и оператор дифференцирования ϕ = 0 , который, оче-
видно, можно рассматривать действующим из V в W . В естествен-
ных базисах B = Bn = [1, x, ..., xn ] и C = Bn−1 = [1, x, ..., xn−1 ] (см.
примеры 2.4 и 3.1) этому оператору отвечает матрица
                                                        
                     0 1        0 0      ...    0     0
                  0 0          2 0      ...    0     0
                                                        
                  0 0          0 3      ...    0     0
                                                        
           A     =0 0          0 0      ...    0     0 .        (12.34)
         n×(n+1)                                        
                   ... ...    ... ...   ...   ...   ... 
                                                        
                     0 0        0 0      ... n − 1    0
                     0 0        0 0      ...    0    n

Страницы