Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 149
Напомним (см. п. 6.4), что координатные изоморфизмы (12.24) и
(12.25) переводят базисы B и C (в V и W соответственно) в есте-
ственные базисы E
n
и E
m
(в P
n
и P
m
):
β(B) = E
n
; γ(C) = E
m
. (12.29)
Теперь мы переходим ко второму этапу арифметизации и поль-
зуемся материалом упомянутого выше пункта из первого пособия.
Оператор Φ, как всякий линейный оператор в арифметических ли-
нейных пространствах, однозначно определяется своей матрицей от-
носительно естественных базисов, которая составляется из векторов-
столбцов
a
j
= Φ(e
j
); j = 1, ..., n (12.30)
и имеет вид
A
m×n
= (a
1
| a
2
| ... | a
n
) . (12.31)
Действие оператора Φ выражается как левое умножение вектора
из P
n
на матрицу (12.31):
Φ(x) = A · x; x ∈ P
n
. (12.32)
Применяя в формуле (12.30) выражение (12.27) для действия Φ,
мы получим [с учетом e
j
= β(b
j
), см. (12.29)]:
a
j
= ϕ(b
j
), (12.33)
а это означает, что матрица (12.31), отвечающая оператору Φ в бази-
сах E
n
и E
m
, в точности совпадает с матрицей (12.9), отвечающей ϕ
в базисах B и C. Итог проведенному анализу подводит следующее
Предложение 12.4. Пусть V и W — линейные пространства
размерностей n и m соответственно, с зафиксированными в них ба-
зисами B и C, заданными списками (12.4) и (12.5). Тогда определены
попарные изоморфизмы между линейными пространствами
L(V, W )
∼
=
−−−−−−→ L(P
n
, P
m
)
∼
=
& .
∼
=
Mat(m, n; P )
такие, что линейному оператору ϕ ∈ L(V, W ) соответствует линей-
ный оператор Φ ∈ L(P
n
, P
m
), заданный формулой (12.26), и, да-
лее, — матрица A, являющаяся матрицей оператора ϕ относительно
§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц          149

   Напомним (см. п. 6.4), что координатные изоморфизмы (12.24) и
(12.25) переводят базисы B и C (в V и W соответственно) в есте-
ственные базисы En и Em (в P n и P m ):

                      β(B) = En ; γ(C) = Em .               (12.29)

   Теперь мы переходим ко второму этапу арифметизации и поль-
зуемся материалом упомянутого выше пункта из первого пособия.
Оператор Φ, как всякий линейный оператор в арифметических ли-
нейных пространствах, однозначно определяется своей матрицей от-
носительно естественных базисов, которая составляется из векторов-
столбцов
                      aj = Φ(ej ); j = 1, ..., n            (12.30)
и имеет вид
                       A = (a1 | a2 | ... | an ) .          (12.31)
                      m×n

   Действие оператора Φ выражается как левое умножение вектора
из P n на матрицу (12.31):

                       Φ(x) = A · x; x ∈ P n .              (12.32)

  Применяя в формуле (12.30) выражение (12.27) для действия Φ,
мы получим [с учетом ej = β(bj ), см. (12.29)]:

                             aj = ϕ(bj ),                   (12.33)

а это означает, что матрица (12.31), отвечающая оператору Φ в бази-
сах En и Em , в точности совпадает с матрицей (12.9), отвечающей ϕ
в базисах B и C. Итог проведенному анализу подводит следующее
  Предложение 12.4. Пусть V и W — линейные пространства
размерностей n и m соответственно, с зафиксированными в них ба-
зисами B и C, заданными списками (12.4) и (12.5). Тогда определены
попарные изоморфизмы между линейными пространствами
                               ∼
                               =
                L(V, W )    −−−−−−→         L(P n , P m )
                    ∼
                    =&                      .∼=
                           Mat(m, n; P )
такие, что линейному оператору ϕ ∈ L(V, W ) соответствует линей-
ный оператор Φ ∈ L(P n , P m ), заданный формулой (12.26), и, да-
лее, — матрица A, являющаяся матрицей оператора ϕ относительно

Страницы