Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 147 стр.

§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц            147

где использована линейность ψ, а также, как обычно, следующие
"правила манипуляции" с суммами и двойными суммами: вынесе-
ние (внесение) постоянного множителя из-под знака (под знак) сум-
мы; перемена порядка суммирования в двойной сумме; перестановка
скалярных множителей под знаком суммы.
   Сравнивая последний результат с формулой (12.23) и пользуясь
единственностью разложения вектора по базису, мы получаем:

              gkj = [H · A]kj (j = 1, ..., n; k = 1, ..., p),

или G = H · A, что и требовалось доказать. ¤
   Объединяя предложения 12.1 и 12.2, мы сформулируем ниже тео-
рему об изоморфизме для алгебраической системы линейных опера-
торов в конечномерных линейных пространствах (над полем P ) и ал-
гебраической системы прямоугольных матриц (с элементами из P ),
являющуюся "абстрактной версией" теоремы 15.1 из [A1 ], которая
описывала случай линейных операторов в арифметических линей-
ных пространствах.
   Теорема 12.1. Выбор базисов B и C в конечномерных линей-
ных пространствах V и W , размерностей m и n соответственно (над
полем P ) определяет линейный изоморфизм линейного простран-
ства линейных операторов L(V, W ) на линейное пространство мат-
риц Mat(m, n; P ).
   Все такие изоморфизмы согласованы с алгебраическими действи-
ями композиции (для линейных операторов) и умножения (для мат-
риц), а именно: для любых трех пространств V, W и U, с выбранны-
ми в них базисами B, C и D, матрицей для композиции ψ ◦ ϕ двух по-
                                          ϕ    ψ
следовательно действующих операторов V → W → U служит произ-
ведение матриц, отвечающих ψ и ϕ (порядок матриц-сомножителей
таков же, каков порядок операторов в композиции). ¤
  12.4.∗ Арифметизация ("оцифровка") линейных операто-
ров. Соответствие между линейными операторами и матрицами

                L(V, W ) 3 ϕ −
                             −
                             ←→
                              −− A ∈ Mat(m, n; P ),

описанное в предыдущем пункте, на самом деле осуществляется в
два этапа:
   1) базисы B и C в линейных пространствах V и W обеспечивают
(как это объяснялось в п. 6.4) "оцифровку" (арифметизацию) этих