Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 145
Далее, j-й столбец E
ij
представляет из себя единичный арифмети-
ческий вектор e
i
∈ P
m
и, следовательно, является "изображением"
i-го базисного вектора c
i
. Действительно,
c
i
= 0 · c
1
+ ... + 1 · c
i
+ ... + 0 · c
m
7→
0
...
1
...
0
= e
i
.
Это означает, что
ε
ij
(b
j
) = c
i
. (12.15b)
Равенства (12.15a) и (12.15b) можно объединить в одно — (12.12),
если использовать символ Кронекера (см. [A
1
, (2.8)]):
δ
jk
=
½
0, если j 6= k;
1, если j = k.
(12.16)
Произвольный линейный оператор ϕ разлагается по базису, со-
ставленному из операторов ε
ij
, по формуле:
ϕ =
m
X
i=1
n
X
j=1
a
ij
ε
ij
, (12.17)
где скаляры a
ij
являются элементами матрицы (12.14), отвечаю-
щей ϕ в указанных базисах B и C.
Все утверждения предложения доказаны. ¤
12.3. Матрица для композиции линейных отображений.
Теорема об изоморфизме для алгебраических систем ли-
нейных операторов и матриц. Важным дополнением к предло-
жению 12.2, утверждающему согласованность алгебраических дей-
ствий сложения и умножения на скаляр для линейных операторов и
для соответствующих им матриц, является следующее предложение,
утверждающее аналогичную согласованность композиции линейных
операторов и умножения матриц.
Предложение 12.3. Рассмотрим два последовательно действу-
ющих линейных отображения
V
ϕ
−→ W
ψ
−→ U, (12.18)
§ 12   Алгебра линейных отображений и алгебра матриц                         145

   Далее, j-й столбец Eij представляет из себя единичный арифмети-
ческий вектор ei ∈ P m и, следовательно, является "изображением"
i-го базисного вектора ci . Действительно,
                                                                
                                                              0
                                                            ... 
                                                            
          ci = 0 · c1 + ... + 1 · ci + ... + 0 · cm     7→  1  = ei .
                                                            
                                                             ...
                                                              0

   Это означает, что
                                εij (bj ) = ci .                          (12.15b)
   Равенства (12.15a) и (12.15b) можно объединить в одно — (12.12),
если использовать символ Кронекера (см. [A1 , (2.8)]):
                             ½
                               0, если j 6= k;
                       δjk =                                (12.16)
                               1, если j = k.

   Произвольный линейный оператор ϕ разлагается по базису, со-
ставленному из операторов εij , по формуле:
                                  m X
                                  X n
                             ϕ=             aij εij ,                      (12.17)
                                  i=1 j=1


где скаляры aij являются элементами матрицы (12.14), отвечаю-
щей ϕ в указанных базисах B и C.
   Все утверждения предложения доказаны. ¤

   12.3. Матрица для композиции линейных отображений.
Теорема об изоморфизме для алгебраических систем ли-
нейных операторов и матриц. Важным дополнением к предло-
жению 12.2, утверждающему согласованность алгебраических дей-
ствий сложения и умножения на скаляр для линейных операторов и
для соответствующих им матриц, является следующее предложение,
утверждающее аналогичную согласованность композиции линейных
операторов и умножения матриц.
  Предложение 12.3. Рассмотрим два последовательно действу-
ющих линейных отображения
                                  ϕ         ψ
                              V −→ W −→ U,                                 (12.18)

Страницы