Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 151
В самом деле, (1)
0
= 0 и (x
k
)
0
= 0·1+0·x+...+k ·x
k−1
+...+0·x
n−1
при k = 1, ..., n.
К оператору дифференцирования многочленов мы вернемся (но
будем рассматривать его несколько иначе: как линейный эндомор-
физм пространства V ) в следующем параграфе (см. пример 13.4).
Пример 12.2. Рассмотрим теперь (опять же — на многочленах:
V = R
n
[x]) оператор вычисления определенного интеграла (см. при-
мер 1.11):
int
[a,b]
: R
n
[x] −→ R; f(x) 7→
Z
b
a
f(x)dx; f(x) ∈ V. (12.35)
Здесь роль второго пространства играет поле R, в котором мы вы-
берем естественный базис C = E
1
= [ 1 ], состоящий из единственного
элемента (числа) 1; в первом пространстве V , как и в предыдущем
примере, выбирается естественный базис B
n
.
Матрица оператора (12.35) будет иметь вид:
A
1×(n+1)
=
¡
b−a
1
b
2
−a
2
2
...
b
n+1
−a
n+1
n+1
¢
.
Действительно, для любого k = 0, ..., n имеем:
int
[a,b]
(x
k
) =
Z
b
a
x
k
dx =
x
k+1
k + 1
¯
¯
¯
¯
b
a
=
b
k+1
− a
k+1
k + 1
.
Замечание 12.4. Оператор (12.34) является примером так называ-
емых линейных форм, определяемых как линейные отображения из
данного линейного пространства в одномерное линейное простран-
ство, совпадающее с основным полем. Линейные формы являются
одним из важнейших объектов изучения в линейной алгебре. В на-
стоящем пособии основы соответствующей теории будут излагаться
в начале четвертой главы. Как правило, в поле, рассматриваемом
как линейное пространство над самим собой, выбирается одноэле-
ментный базис E
1
= [ 1 ]. (Именно так мы поступили в примере 12.2.)
Матрица линейной формы всегда является матрицей-строкой.
Пример 12.3. Рассмотрим два линейных пространства матриц
(см. пример 1.1): V
1
= Mat(3, 2; P ) и V
2
= Mat(2, 2; P ); зафиксируем
матрицу
A
2×3
=
µ
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
.
§ 12    Алгебра линейных отображений и алгебра матриц            151

  В самом деле, (1)0 = 0 и (xk )0 = 0·1+0·x+...+k ·xk−1 +...+0·xn−1
при k = 1, ..., n.
  К оператору дифференцирования многочленов мы вернемся (но
будем рассматривать его несколько иначе: как линейный эндомор-
физм пространства V ) в следующем параграфе (см. пример 13.4).
  Пример 12.2. Рассмотрим теперь (опять же — на многочленах:
V = Rn [x]) оператор вычисления определенного интеграла (см. при-
мер 1.11):
                                       Z b
      int[a,b] : Rn [x] −→ R; f (x) 7→     f (x)dx; f (x) ∈ V. (12.35)
                                      a

  Здесь роль второго пространства играет поле R, в котором мы вы-
берем естественный базис C = E1 = [ 1 ], состоящий из единственного
элемента (числа) 1; в первом пространстве V , как и в предыдущем
примере, выбирается естественный базис Bn .
  Матрица оператора (12.35) будет иметь вид:
                       ¡      b2 −a2
                                                      ¢
                                            bn+1 −an+1 .
                A = b−a   1      2     ...     n+1
               1×(n+1)

   Действительно, для любого k = 0, ..., n имеем:
                           Z b               ¯
                                         k+1 ¯b   k+1
                                       x     ¯ =b     − ak+1
          int[a,b] (xk ) =     xk dx =       ¯               .
                            a          k + 1   a    k + 1

   Замечание 12.4. Оператор (12.34) является примером так называ-
емых линейных форм, определяемых как линейные отображения из
данного линейного пространства в одномерное линейное простран-
ство, совпадающее с основным полем. Линейные формы являются
одним из важнейших объектов изучения в линейной алгебре. В на-
стоящем пособии основы соответствующей теории будут излагаться
в начале четвертой главы. Как правило, в поле, рассматриваемом
как линейное пространство над самим собой, выбирается одноэле-
ментный базис E1 = [ 1 ]. (Именно так мы поступили в примере 12.2.)
Матрица линейной формы всегда является матрицей-строкой.
   Пример 12.3. Рассмотрим два линейных пространства матриц
(см. пример 1.1): V1 = Mat(3, 2; P ) и V2 = Mat(2, 2; P ); зафиксируем
матрицу                    µ                 ¶
                              a11 a12 a13
                       A =                     .
                      2×3     a21 a22 a23

Страницы