Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 12 Алгебра линейных отображений и алгебра матриц 153
В базисах (12.37) и (12.38) оператору (12.36) будет отвечать мат-
рица (для обозначения которой мы применим полужирный шрифт
и которую естественным образом разобьем на блоки):
A
4×6
=
a
11
a
12
a
13
0 0 0
a
21
a
22
a
23
0 0 0
0 0 0 a
11
a
12
a
13
0 0 0 a
21
a
22
a
23
=
A
2×3
O
2×3
O
2×3
A
2×3
. (12.39)
Поясним заполнение, скажем, четвертого столбца матрицы A.
Применим оператор λ
A
к четвертой матрице в списке (12.37):
λ
A
(E
(1)
12
) = A · E
(1)
12
=
µ
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
·
0 1
0 0
0 0
=
=
µ
0 a
11
0 a
12
= a
11
·
µ
0 1
0 0
+ a
12
·
µ
0 0
0 1
=
= 0 · E
(2)
11
+ 0 · E
(2)
21
+ a
11
· E
(2)
12
+ a
12
· E
(2)
22
.
В базисе (12.38) матрице λ
A
(E
(1)
12
) будет отвечать вектор-столбец
(фактически: векторизация этой матрицы):
λ
A
(E
(1)
12
) =
0
0
a
11
a
12
.
Пример 12.4. Рассмотрим снова пространство матриц V
2
, то же
самое, что и в предыдущем примере, и с тем же базисом (12.38), и,
наряду с ним — пространство V
3
= Mat(4, 2; P ) с базисом
E
(3)
= [ E
(3)
11
, E
(3)
21
, E
(3)
12
, E
(3)
22
, E
(3)
13
, E
(3)
23
, E
(3)
14
, E
(3)
24
]. (12.40)
Зафиксируем матрицу
B
2×4
=
µ
b
11
b
12
b
13
b
14
b
21
b
22
b
23
b
24
и рассмотрим линейный оператор правого умножения матриц из V
2
на матрицу B (результат будет матрицей из V
3
):
ρ
B
: V
2
−→ V
3
; Y 7→ Y · B; Y ∈ V
2
. (12.41)
§ 12    Алгебра линейных отображений и алгебра матриц                                  153

   В базисах (12.37) и (12.38) оператору (12.36) будет отвечать мат-
рица (для обозначения которой мы применим полужирный шрифт
и которую естественным образом разобьем на блоки):
                                    
               a11 a12 a13 0 0 0                   
             a21 a22 a23 0 0 0             A O
                                      2×3 2×3 
        A =                         =               .       (12.39)
       4×6    0 0 0 a11 a12 a13            O A
                                            2×3 2×3
                0 0 0 a21 a22 a23

  Поясним заполнение, скажем, четвертого столбца матрицы A.
Применим оператор λA к четвертой матрице в списке (12.37):
                                                  
                       µ               ¶     0 1
      (1)         (1)    a11 a12 a13
 λA (E12 ) = A · E12 =                   · 0 0 =
                         a21 a22 a23
                                             0 0
             µ        ¶         µ     ¶         µ     ¶
               0 a11              0 1             0 0
           =            = a11 ·         + a12 ·         =
               0 a12              0 0             0 1
                                           (2)               (2)               (2)    (2)
                              = 0 · E11 + 0 · E21 + a11 · E12 + a12 · E22 .
                                                 (1)
  В базисе (12.38) матрице λA (E12 ) будет отвечать вектор-столбец
(фактически: векторизация этой матрицы):
                                        
                                      0
                            (1)     0 
                       λA (E12 ) =      .
                                     a11
                                     a12

  Пример 12.4. Рассмотрим снова пространство матриц V2 , то же
самое, что и в предыдущем примере, и с тем же базисом (12.38), и,
наряду с ним — пространство V3 = Mat(4, 2; P ) с базисом
                  (3)   (3)    (3)     (3)             (3)     (3)       (3)   (3)
       E (3) = [ E11 , E21 , E12 , E22 , E13 , E23 , E14 , E24 ].                    (12.40)

   Зафиксируем матрицу
                                µ                                        ¶
                                     b11     b12         b13       b14
                        B =
                        2×4          b21     b22         b23       b24
и рассмотрим линейный оператор правого умножения матриц из V2
на матрицу B (результат будет матрицей из V3 ):

                   ρB : V2 −→ V3 ; Y 7→ Y · B; Y ∈ V2 .                              (12.41)

Страницы