Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

154 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
Столь же простыми рассуждениями, как и в предыдущем приме-
ре, получаем матрицу для оператора (12.41):
B
8×4
=
b
11
0 b
21
0
0 b
11
0 b
21
b
12
0 b
22
0
0 b
12
0 b
22
b
12
0 b
22
0
0 b
12
0 b
22
b
14
0 b
24
0
0 b
14
0 b
24
. (12.42)
На первый взгляд, строение матрицы (12.42) совсем не похоже
на строение матрицы (12.39) из предыдущего примера. Не видно
блоков, равных B. Но зато легко усматривается 8 блоков, пропорци-
ональных единичной матрице E размера 2 × 2:
B =
b
11
E
2×2
b
21
E
2×2
b
12
E
2×2
b
22
E
2×2
b
13
E
2×2
b
23
E
2×2
b
14
E
2×2
b
24
E
2×2
. (12.43)
После разбора еще одного примера мы объясним (см. замеча-
ние 12.5), что же все-таки имеется общего в облике матриц A и B.
Пример 12.5. Рассмотрим теперь композицию
µ
A,B
= ρ
B
◦ λ
A
: V
1
−→ V
3
; X 7→ A · X · B; X ∈ V. (12.44)
Согласно предложению 12.3, матрица оператора (12.44) относи-
тельно базисов (12.37) и (12.40) находится как произведение:
C
8×6
= B
8×4
· A
4×6
=
b
11
a
11
b
11
a
12
b
11
a
13
b
21
a
11
b
21
a
12
b
21
a
13
b
11
a
21
b
11
a
22
b
11
a
23
b
21
a
21
b
21
a
22
b
21
a
23
b
12
a
11
b
12
a
12
b
12
a
13
b
22
a
11
b
22
a
12
b
22
a
13
b
12
a
21
b
12
a
22
b
12
a
23
b
22
a
21
b
22
a
22
b
22
a
23
b
13
a
11
b
13
a
12
b
13
a
13
b
23
a
11
b
23
a
12
b
23
a
13
b
13
a
21
b
13
a
22
b
13
a
23
b
23
a
21
b
23
a
22
b
23
a
23
b
14
a
11
b
14
a
12
b
14
a
13
b
24
a
11
b
24
a
12
b
24
a
13
b
14
a
21
b
14
a
22
b
14
a
23
b
24
a
21
b
24
a
22
b
24
a
23
,
154   Линейные отображения конечномерных пространств             Гл. 2

   Столь же простыми рассуждениями, как и в предыдущем приме-
ре, получаем матрицу для оператора (12.41):
                                           
                          b11 0 b21 0
                        0 b11 0 b21 
                                           
                        b12 0 b22 0 
                                           
                        0 b12 0 b22 
                   B =                     .         (12.42)
                  8×4   b12 0 b22 0 
                                           
                        0 b12 0 b22 
                                           
                          b14 0 b24 0
                           0 b14 0 b24
  На первый взгляд, строение матрицы (12.42) совсем не похоже
на строение матрицы (12.39) из предыдущего примера. Не видно
блоков, равных B. Но зато легко усматривается 8 блоков, пропорци-
ональных единичной матрице E размера 2 × 2:
                                               
                                b11 E   b21 E
                                  2×2     2×2
                                        
                         b E b E 
                          12 2×2 22 2×2 
                                        
                       B=               .                     (12.43)
                          b13 E b23 E 
                          2×2       2×2 
                                        
                           b14 E b24 E
                                  2×2     2×2

  После разбора еще одного примера мы объясним (см. замеча-
ние 12.5), что же все-таки имеется общего в облике матриц A и B.
  Пример 12.5. Рассмотрим теперь композицию
      µA,B = ρB ◦ λA : V1 −→ V3 ; X 7→ A · X · B; X ∈ V.        (12.44)
  Согласно предложению 12.3, матрица оператора (12.44) относи-
тельно базисов (12.37) и (12.40) находится как произведение:
                                                                    
                      b11 a11 b11 a12 b11 a13 b21 a11 b21 a12 b21 a13
                    b11 a21 b11 a22 b11 a23 b21 a21 b21 a22 b21 a23
                                                                    
                                                                    
                    b12 a11 b12 a12 b12 a13 b22 a11 b22 a12 b22 a13
                                                                    
                    b12 a21 b12 a22 b12 a23 b22 a21 b22 a22 b22 a23
     C = B · A =                                                    
                    b13 a11 b13 a12 b13 a13 b23 a11 b23 a12 b23 a13 ,
    8×6   8×4 4×6                                                   
                    b13 a21 b13 a22 b13 a23 b23 a21 b23 a22 b23 a23
                                                                    
                                                                    
                    b14 a11 b14 a12 b14 a13 b24 a11 b24 a12 b24 a13
                      b14 a21 b14 a22 b14 a23 b24 a21 b24 a22 b24 a23

Страницы