Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 156 стр.

156   Линейные отображения конечномерных пространств       Гл. 2

   Важно то, что полученное в примере 12.5 представление для мат-
рицы линейного оператора X 7→ AXB в виде тензорного произведе-
ния (12.47) сохраняет свою силу при любых размерах матриц A и B
(размеры переменной матрицы X обязаны быть такими, чтобы были
осуществимы оба умножения).
   Подробнее со свойствами и приложениями кронекеровского про-
изведения можно познакомиться, например, по справочнику [10].
   Интересно, что эта алгебраическая операция играет ключевую
роль при исследовании линейных матричных уравнений (в связи
с чем читателям можно напомнить, что блочные матрицы, являю-
щиеся по сути кронекеровскими произведениями, встречались нам в
[A1 , § 7]).



            § 13. Преобразование матрицы
   линейного отображения при замене базисов.
  Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы

   13.1. Замена базисов и преобразование матрицы линей-
ного отображения. В § 7 были определены матрицы перехода от
одного базиса в конечномерном линейном пространстве к другому
и были установлены правила пересчета координатных столбцов при
замене базисов. В данном параграфе мы рассмотрим зависимость
матрицы линейного отображения (оператора) ϕ : V → W в конеч-
номерных линейных пространствах V и W (над полем P ) от выбора
базисов в этих пространствах.

   Теорема 13.1. Пусть в n-мерном линейном пространстве V за-
даны два базиса B и B 0 , с матрицей перехода T от первого базиса
ко второму. Аналогично, пусть в m-мерном пространстве W заданы
базисы C и C 0 и матрица перехода Q. Рассмотрим линейный оператор

                          ϕ : V −→ W,                      (13.1)

и пусть ему отвечает в базисах B и C матрица A, а в базисах B0 и
C 0 — матрица A0 . Тогда


                        A0 = Q−1 · A · T ;                (13.2a)
                        A = Q · A0 · T −1 .               (13.2b)