Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

158 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
С соотношением (13.6) у нас как раз такая ситуация: x
0
пробегает
все арифметическое линейное пространство P
n
. Поэтому из (13.6)
вытекает (13.2a).
Равенство (13.2b) очевидным образом получается из (13.2a) до-
множением обеих частей (слева на Q, а справа — на T
−1
). ¤
13.2.
∗
Изменение "оцифровки" для линейного оператора
при замене базисов. В п. 12.4 арифметизацией (или "оцифров-
кой") линейного оператора (13.1) назывался оператор
Φ : P
n
−→ P
m
, (13.8)
определяемый с помощью координатных изоморфизмов как компо-
зиция (12.26). Замена базисов меняет и оператор (13.8). Все соотно-
шения между двумя "оцифровками" и координатными изоморфиз-
мами усматриваются на следующей диаграмме, содержащей в себе
две диаграммы типа 12.1 и две диаграммы типа 7.1.
Диагр. 13.1
Φ
P
n
−−−−→P
m
↑ -β ϕ γ% ↑
τ V −−−−−→ W κ
.β
0
Φ
0
γ
0
&
P
n
−−−−→P
m
Приведем также сводку формул, связывающих стрелки (отобра-
жения) диаграммы 13.1:
y = ϕ(x);
x = β(x); y = γ(y);
x
0
= β
0
(x); y
0
= γ
0
(y);
x = τ(x
0
) = T · x
0
; y = κ(y
0
) = Q · y
0
;
y = Φ(x) = A · x; y
0
= Φ
0
(x
0
) = A
0
· x
0
;
Φ ◦ τ = κ ◦ Φ
0
; Φ
0
= κ
−1
◦ Φ ◦ τ ;
A
0
= Q
−1
· A · T.
13.3. Эквивалентные матрицы. При замене базисов матрица
линейного оператора (гомоморфизма) преобразуется так [см. форму-
лу (13.2a)]: слева и справа она домножается на обратимые квадрат-
ные матрицы (соответствующих размеров). В связи с этим, оказы-
вается важным исследование следующего отношения на множестве
всех матриц (фиксированного размера).
158   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

   С соотношением (13.6) у нас как раз такая ситуация: x0 пробегает
все арифметическое линейное пространство P n . Поэтому из (13.6)
вытекает (13.2a).
   Равенство (13.2b) очевидным образом получается из (13.2a) до-
множением обеих частей (слева на Q, а справа — на T −1 ). ¤

  13.2.∗ Изменение "оцифровки" для линейного оператора
при замене базисов. В п. 12.4 арифметизацией (или "оцифров-
кой") линейного оператора (13.1) назывался оператор

                          Φ : P n −→ P m ,                   (13.8)

определяемый с помощью координатных изоморфизмов как компо-
зиция (12.26). Замена базисов меняет и оператор (13.8). Все соотно-
шения между двумя "оцифровками" и координатными изоморфиз-
мами усматриваются на следующей диаграмме, содержащей в себе
две диаграммы типа 12.1 и две диаграммы типа 7.1.

                                                       Диагр. 13.1
                                      Φ
                        Pn                −−−−→P m
                          ↑ -β         ϕ     γ% ↑
                        τ     V     −−−−−→ W     κ
                             .β 0     Φ0    γ 0&
                           n
                        P                 −−−−→P m

  Приведем также сводку формул, связывающих стрелки (отобра-
жения) диаграммы 13.1:
                              y = ϕ(x);
                        x = β(x); y = γ(y);
                      x0 = β 0 (x); y 0 = γ 0 (y);
              x = τ (x0 ) = T · x0 ; y = κ(y 0 ) = Q · y 0 ;
               y = Φ(x) = A · x; y 0 = Φ0 (x0 ) = A0 · x0 ;
                 Φ ◦ τ = κ ◦ Φ0 ; Φ0 = κ −1 ◦ Φ ◦ τ ;
                          A0 = Q−1 · A · T.
   13.3. Эквивалентные матрицы. При замене базисов матрица
линейного оператора (гомоморфизма) преобразуется так [см. форму-
лу (13.2a)]: слева и справа она домножается на обратимые квадрат-
ные матрицы (соответствующих размеров). В связи с этим, оказы-
вается важным исследование следующего отношения на множестве
всех матриц (фиксированного размера).

Страницы