Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 160 стр.

160   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

  Предложение 13.1. Следующие четыре утверждения о матри-
цах A, B ∈ Mat(m, n; P ) равносильны:
  1) матрицы A и B эквивалентны (A ∼ B);
  2) от одной из этих матриц можно перейти к другой за конеч-
ное число шагов — элементарных преобразований типов I — III над
строками и столбцами;
  3) матрицы A и B имеют одинаковые ранги:

                        rank(A) = rank(B);                  (13.10)

  4) матрицы A и B имеют одинаковые скелетные виды.
   Доказательство. Данное предложение фактически уже доказано
в первом семестре, хотя там не было явной формулировки, поскольку
не был еще введен термин эквивалентные матрицы. Тем не менее,
равносильность второго, третьего и четвертого утверждений уста-
новлена в [A1 ] по ходу доказательства первой теоремы о ранге мат-
рицы (теоремы 12.1): две матрицы имеют одинаковые ранги тогда и
только тогда, когда они приводятся к одному и тому же скелетному
виду. (Напомним, что в скелетном виде A  b матрицы A в начале глав-
ной диагонали стоят r = rank(A) единиц, а все остальные элементы
равны нулю.)
   Далее, в п. 14.4 [A1 ], при изучении обратимых матриц установ-
лено, что такие матрицы представляются как произведения элемен-
тарных матриц, или, что равносильно, получаются из единичной
матрицы элементарными преобразованиями над строками и столб-
цами. Из предложения 14.4 усматривается также тот факт, что две
матрицы можно соединить конечной цепочкой элементарных преоб-
разований (типов I — III, над строками и столбцами) тогда и только
тогда, когда каждая из них получается из другой домножением сле-
ва и справа на обратимые матрицы. А это уже означает, что первое
утверждение настоящего предложения равносильно любому из трех
последующих. ¤
   Замечание 13.2. Возвращаясь к проблематике замечания 13.1, мо-
жно констатировать, что в каждом классе эквивалентности (m × n)-
матриц имеется однозначно определенная матрица скелетного ви-
да. Ясно также, что общее количество классов эквивалентности
в Mat(m, n; P ) конечно и равно 1 + min(m, n). (Почему?) Один из
классов эквивалентности является одноэлементным, т. е. содержит
единственную матрицу. (Какую?)