Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 161
Выше, в замечании 7.1, объяснялось, что в каждом n-мерном про-
странстве существует биекция между множеством всех базисов и
множеством обратимых матриц GL(n, P ). Поэтому факт, упомяну-
тый в предыдущем замечании, можно трактовать иначе, на языке
линейных отображений.
Предложение 13.2. Для любого линейного оператора (13.1),
действующего в конечномерных линейных пространствах V и W , су-
ществуют такие базисы в этих пространствах, в которых оператору
соответствует матрица скелетного вида.
Доказательство. Выберем сначала в пространствах V и W про-
извольные базисы B и C соответственно. Пусть в этих базисах опе-
ратору ϕ отвечает матрица A. Приведем ее к скелетному виду
b
A и
запишем представление
b
A = L · A · R, (13.11)
с обратимыми матрицами L и R. Построим в V новый базис B
0
,
такой, что матрицей перехода к нему от B служит T = R. В про-
странстве W также построим новый базис C
0
, матрицей перехода
к которому от старого базиса C служит Q = L
−1
. Тогда формула
(13.11) приобретет знакомый [см. (13.2a)] вид:
b
A = Q
−1
· A · T. (13.11
0
)
Следовательно, в базисах B
0
и C
0
оператору ϕ будет соответство-
вать матрица скелетного вида
b
A. ¤
Замечание 13.3. Ниже, в § 15 (см. замечание 15.4), мы передока-
жем результат, полученный в предложении 13.2, исходя из других,
более наглядных соображений.
13.4. Примеры пересчета матриц линейных отображений
Пример 13.1. Выполним следующее типовое упражнение.
З а д а ч а. Линейный оператор ϕ : V −→ W действует из трех-
мерного линейного пространства V в четырехмерное пространство
W (все — над полем R). В некоторых базисах B = [b
1
, b
2
, b
3
] и
§ 13   Преобразование матрицы линейного отображения           161

  Выше, в замечании 7.1, объяснялось, что в каждом n-мерном про-
странстве существует биекция между множеством всех базисов и
множеством обратимых матриц GL(n, P ). Поэтому факт, упомяну-
тый в предыдущем замечании, можно трактовать иначе, на языке
линейных отображений.

   Предложение 13.2. Для любого линейного оператора (13.1),
действующего в конечномерных линейных пространствах V и W , су-
ществуют такие базисы в этих пространствах, в которых оператору
соответствует матрица скелетного вида.

  Доказательство. Выберем сначала в пространствах V и W про-
извольные базисы B и C соответственно. Пусть в этих базисах опе-
ратору ϕ отвечает матрица A. Приведем ее к скелетному виду A bи
запишем представление

                           b = L · A · R,
                           A                                (13.11)

с обратимыми матрицами L и R. Построим в V новый базис B0 ,
такой, что матрицей перехода к нему от B служит T = R. В про-
странстве W также построим новый базис C 0 , матрицей перехода
к которому от старого базиса C служит Q = L−1 . Тогда формула
(13.11) приобретет знакомый [см. (13.2a)] вид:

                         b = Q−1 · A · T.
                         A                                 (13.110 )

  Следовательно, в базисах B 0 и C 0 оператору ϕ будет соответство-
                              b ¤
вать матрица скелетного вида A.

  Замечание 13.3. Ниже, в § 15 (см. замечание 15.4), мы передока-
жем результат, полученный в предложении 13.2, исходя из других,
более наглядных соображений.

   13.4. Примеры пересчета матриц линейных отображений

  Пример 13.1. Выполним следующее типовое упражнение.
  З а д а ч а. Линейный оператор ϕ : V −→ W действует из трех-
мерного линейного пространства V в четырехмерное пространство
W (все — над полем R). В некоторых базисах B = [b1 , b2 , b3 ] и

Страницы