Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 13 Преобразование матрицы линейного отображения 163
О т в е т: в базисах B
0
и C
0
оператору ϕ соответствует матрица
A
0
= Q
−1
· A · T =
12 10 5
18 15 7
3 2 1
−23 −19 −9
.
Замечание 13.4. В вычислениях с обратными матрицами быва-
ют полезны "маленькие хитрости". Вспомните из первого пособия
[A
1
, п. 14.6] алгоритм Жордана — Гаусса вычисления A
−1
: конка-
тенация (A|E) приводится (если удается) к виду Ж.—Г. (E|B), из
которого считывается A
−1
= B (неудача свидетельствует о необра-
тимости A).
Секрет этого алгоритма состит в том, что элементарные преоб-
разования над строками, дающие E на месте A, равносильны умно-
жению (A|E) слева на матрицу A
−1
(если она существует). Тот же
прием можно применить, например, к конкатенации (Q|A) и — если
матрица Q обратима — добиться вида (E|C), из которого прочитать:
Q
−1
· A = C. Выигрыш состоит в том, что (не нужная "в чистом ви-
де") матрица Q
−1
не вычисляется (хотя ее существование устанав-
ливается).
Пример 13.2. Еще одна типовая
З а д а ч а. Линейному оператору ϕ : R
3
→ R
2
в базисах B и C,
составленных из векторов-столбцов матриц
B =
1 1 0
0 1 −1
−1 0 1
и
C =
µ
1 −1
1 1
соответственно, отвечает матрица
A =
−
13
6
−
5
6
8
3
31
6
−
1
6
52
3
.
Определить, какая матрица будет отвечать этому оператору в ба-
зисах B
0
и C
0
, составленных из столбцов матриц
B
0
=
1 1 −1
1 0 −1
1 1 0
§ 13    Преобразование матрицы линейного отображения             163

   О т в е т: в базисах B0 и C 0 оператору   ϕ соответствует матрица
                                                     
                                      12      10    5
                                    18       15    7 
                A0 = Q−1 · A · T =                   .
                                       3       2    1
                                     −23     −19 −9

  Замечание 13.4. В вычислениях с обратными матрицами быва-
ют полезны "маленькие хитрости". Вспомните из первого пособия
[A1 , п. 14.6] алгоритм Жордана — Гаусса вычисления A−1 : конка-
тенация (A|E) приводится (если удается) к виду Ж.—Г. (E|B), из
которого считывается A−1 = B (неудача свидетельствует о необра-
тимости A).
  Секрет этого алгоритма состит в том, что элементарные преоб-
разования над строками, дающие E на месте A, равносильны умно-
жению (A|E) слева на матрицу A−1 (если она существует). Тот же
прием можно применить, например, к конкатенации (Q|A) и — если
матрица Q обратима — добиться вида (E|C), из которого прочитать:
Q−1 · A = C. Выигрыш состоит в том, что (не нужная "в чистом ви-
де") матрица Q−1 не вычисляется (хотя ее существование устанав-
ливается).
   Пример 13.2. Еще одна типовая
   З а д а ч а. Линейному оператору ϕ : R3 → R2 в базисах B и C,
составленных из векторов-столбцов матриц
                                        
                               1 1 0
                       B =  0 1 −1 
                              −1 0 1
и                             µ       ¶
                                1 −1
                          C=
                                1 1
соответственно, отвечает матрица
                           13           
                            − 6 − 56 83
                     A=                 .
                             31
                             6   − 16 52
                                       3
  Определить, какая матрица будет отвечать этому оператору в ба-
зисах B0 и C 0 , составленных из столбцов матриц
                                          
                                   1 1 −1
                           B 0 =  1 0 −1 
                                   1 1 0

Страницы