Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 165 стр.

§ 13   Преобразование матрицы линейного отображения           165

   Указанная формула пересчета матрицы линейного оператора ос-
тается справедливой, но надо считать, что Q = T. Переформули-
ровкой теоремы 13.1 для случая линейных эндоморфизмов является
следующая (не требующая отдельного доказательства)

   Теорема 13.10 . Пусть в n-мерном линейном пространстве V за-
даны два базиса B и B 0 , с матрицей перехода T от первого базиса
ко второму. Рассмотрим линейный эндоморфизм (13.12). Пусть ему
отвечают в базисах B и B 0 (квадратные) матрицы A и A0 соответ-
ственно. Тогда
                         A0 = T −1 · A · T. ¤              (13.14)


   13.6. Подобные квадратные матрицы. По тому же принци-
пу, как формула пересчета (13.2а) для матрицы линейного операто-
ра (гомоморфизма) инициировала определение 13.1 эквивалентных
матриц, формула пересчета (13.14) для матрицы л.э. инициирует сле-
дующее
  Определение 13.2. Две квадратные (n × n)-матрицы A и B на-
зываютя подобными (и это обозначается A ∼
                                        ◦ ◦ B), если найдется обра-

тимая (n × n)-матрица T , такая, что

                         B = T −1 · A · T.                  (13.15)

   Таким образом, при замене базиса в линейном пространстве мат-
рица л.э. заменяется на подобную. Обратно, если матрица A соответ-
ствует некоторому л.э. в некотором базисе B, то подобная матрица
(13.15) будет соответствовать тому же эндоморфизму в базисе B0 ,
который строится по базису B и матрице перехода T (см. замеча-
ние 7.1).
   Легко убедиться в том, что отношение подобия ∼◦ ◦ на множестве




                      L(n, P ) = Mat(n, n; P )

является отношением эквивалентности, но это — более сильное отно-
шение эквивалентности, нежели отношение ∼, также определенное
на этом множестве:

                       [ A∼
                          ◦ ◦B ] =⇒ [ A ∼ B ].              (13.16)