Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

164 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
и
C
0
=
µ
3 1
1 −1
.
Р е ш е н и е. Как и в предыдущем примере, сначала надо обес-
покоиться обратимостью данных матриц B, C, B
0
и C
0
. Затем следу-
ет обратиться к результату замечания 7.2 — формулам для матриц
перехода от одного базиса в арифметическом линейном простран-
стве к другому и обратно. По первой из формул (7.9), будем иметь:
T = B
−1
· B
0
и Q = C
−1
· C
0
. При реализации указанных вычислений
можно прибегнуть к "хитростям" замечания 12.4. (Между прочим,
попутно контролируется обратимость матриц B и C, но, увы, не B
0
и C
0
.) И, наконец, нужно воспользоваться формулой (12.3а).
О т в е т:
A
0
=
µ
1 2 3
3 2 1
.
(Наверное, проницательные читатели сообразили, что при состав-
лении последней задачи автор действовал "от ответа": взял вполне
приличную матрицу A
0
и (наудачу) подверг ее преобразованиям; по-
лучилась более сложная матрица A, которую и было предложено
подвергнуть обратным преобразованиям. Составители ваших задач-
ников часто поступают подобным образом.)
13.5. Линейные эндоморфизмы и их матрицы. Линейные
эндоморфизмы (далее: л.э.) являются линейными гомоморфизмами
из некоторого линейного пространства в само это пространство:
ϕ : V −→ V. (13.12)
Имеется важная особенность в определении матрицы л.э.: второй
базис C (см. определение 12.2) считается совпадающим с первым ба-
зисом B. Естественно, матрица
A
n×n
=
³
ϕ(b
1
)
¯
¯
¯
ϕ(b
2
)
¯
¯
¯
...
¯
¯
¯
ϕ(b
n
)
´
(13.13)
л.э. (13.12) оказывается квадратной. Но важно не только это. Очень
существенно то, что мы оказываемся значительно более "ограничен-
ными в заменах". Вместо независимой замены двух базисов [описы-
ваемой двумя матрицами перехода, T и Q; см. формулу (13.2а)], мы
можем себе позволить лишь замену одного базиса.
164   Линейные отображения конечномерных пространств           Гл. 2

и                                 µ            ¶
                            0         3   1
                          C =                      .
                                      1   −1
   Р е ш е н и е. Как и в предыдущем примере, сначала надо обес-
покоиться обратимостью данных матриц B, C, B 0 и C 0 . Затем следу-
ет обратиться к результату замечания 7.2 — формулам для матриц
перехода от одного базиса в арифметическом линейном простран-
стве к другому и обратно. По первой из формул (7.9), будем иметь:
T = B −1 · B 0 и Q = C −1 · C 0 . При реализации указанных вычислений
можно прибегнуть к "хитростям" замечания 12.4. (Между прочим,
попутно контролируется обратимость матриц B и C, но, увы, не B 0
и C 0 .) И, наконец, нужно воспользоваться формулой (12.3а).
   О т в е т:                      µ         ¶
                                0    1 2 3
                            A =                .
                                     3 2 1
  (Наверное, проницательные читатели сообразили, что при состав-
лении последней задачи автор действовал "от ответа": взял вполне
приличную матрицу A0 и (наудачу) подверг ее преобразованиям; по-
лучилась более сложная матрица A, которую и было предложено
подвергнуть обратным преобразованиям. Составители ваших задач-
ников часто поступают подобным образом.)

   13.5. Линейные эндоморфизмы и их матрицы. Линейные
эндоморфизмы (далее: л.э.) являются линейными гомоморфизмами
из некоторого линейного пространства в само это пространство:

                                ϕ : V −→ V.                   (13.12)

  Имеется важная особенность в определении матрицы л.э.: второй
базис C (см. определение 12.2) считается совпадающим с первым ба-
зисом B. Естественно, матрица
                      ³       ¯       ¯ ¯          ´
                              ¯       ¯ ¯
                   A = ϕ(b1 ) ¯ϕ(b2 ) ¯ ... ¯ϕ(bn )           (13.13)
                   n×n


л.э. (13.12) оказывается квадратной. Но важно не только это. Очень
существенно то, что мы оказываемся значительно более "ограничен-
ными в заменах". Вместо независимой замены двух базисов [описы-
ваемой двумя матрицами перехода, T и Q; см. формулу (13.2а)], мы
можем себе позволить лишь замену одного базиса.

Страницы