Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

166 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
(Символ
◦
∼
◦
является не стандартным, но "самодельным"; он нари-
сован автором средствами T
E
X с тем, чтобы помочь читателям разо-
браться в многочисленных отношениях эквивалентности, для обо-
значения которых зачастую используется одна и та же тильда.)
Более сильному отношению эквивалентности соответствует более
"мелкое" разбиение на классы эквивалентности.
Между прочим, в тривиальном случае n = 1 все ненулевые одно-
элементные матрицы (т. е. попросту — скаляры) эквивалентны, но
никакие две из них не подобны.
В общем случае, в соответствии с замечанием 13.2, множество
L(n, P ) разбивается на n + 1 классов по отношению ∼.
С отношением
◦
∼
◦
все гораздо сложнее и интереснее! Выводу кри-
териев подобия квадратных матриц будет посвящена вся следующая
глава.
Даже удивительно, насколько важную роль в совершенно "рабо-
чих" (прикладных) разделах линейной алгебры играет такой (каза-
лось бы, частный) вопрос, как условия подобия матриц.
Замечание 13.5. Отметим специфический частный случай замены
базиса в линейном пространстве — перестановку базисных векторов.
Иначе говоря, производится перенумерация векторов, составляющих
базис. Совершенно очевидно, что матрица перехода при этом будет
иметь следующий специальный вид: ее элементами будут только
нули и единицы, причем в каждой строке и в каждом столбце будет
присутствовать лишь одна единица.
Например, переходу от базиса B = [ b
1
, b
2
, b
2
, b
4
, b
5
, b
6
] к базису
B = [ b
4
, b
6
, b
5
, b
2
, b
3
, b
1
] соответствовать матрица
T =
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
.
Матрицы "перестановочного" перехода однозначно определяются
перестановками (в смысле главы 3 пособия [A
1
]). Скажем, выписан-
ная выше матрица соответствует перестановке
σ =
µ
1 2 3 4 5 6
4 6 5 2 3 1
.
166   Линейные отображения конечномерных пространств                Гл. 2

   (Символ ∼◦ ◦ является не стандартным, но "самодельным"; он нари-

сован автором средствами TEX с тем, чтобы помочь читателям разо-
браться в многочисленных отношениях эквивалентности, для обо-
значения которых зачастую используется одна и та же тильда.)
   Более сильному отношению эквивалентности соответствует более
"мелкое" разбиение на классы эквивалентности.
   Между прочим, в тривиальном случае n = 1 все ненулевые одно-
элементные матрицы (т. е. попросту — скаляры) эквивалентны, но
никакие две из них не подобны.
   В общем случае, в соответствии с замечанием 13.2, множество
L(n, P ) разбивается на n + 1 классов по отношению ∼.
   С отношением ◦∼◦ все гораздо сложнее и интереснее! Выводу кри-
териев подобия квадратных матриц будет посвящена вся следующая
глава.
   Даже удивительно, насколько важную роль в совершенно "рабо-
чих" (прикладных) разделах линейной алгебры играет такой (каза-
лось бы, частный) вопрос, как условия подобия матриц.
  Замечание 13.5. Отметим специфический частный случай замены
базиса в линейном пространстве — перестановку базисных векторов.
Иначе говоря, производится перенумерация векторов, составляющих
базис. Совершенно очевидно, что матрица перехода при этом будет
иметь следующий специальный вид: ее элементами будут только
нули и единицы, причем в каждой строке и в каждом столбце будет
присутствовать лишь одна единица.
  Например, переходу от базиса B = [ b1 , b2 , b2 , b4 , b5 , b6 ] к базису
B = [ b4 , b6 , b5 , b2 , b3 , b1 ] соответствовать матрица
                                                  
                           0     0   0   0   0   1
                         0      0   0   1   0   0
                                                  
                         0      0   0   0   1   0
                      T =                         .
                         1      0   0   0   0   0
                                                  
                           0     0   1   0   0   0
                           0     1   0   0   0   0

  Матрицы "перестановочного" перехода однозначно определяются
перестановками (в смысле главы 3 пособия [A1 ]). Скажем, выписан-
ная выше матрица соответствует перестановке
                           µ                         ¶
                               1 2   3   4   5   6
                      σ=                                 .
                               4 6   5   2   3   1

Страницы