Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

168 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
Если вы усвоили принцип составления матриц для линейных отоб-
ражений, то вам будет легко понять, что матрица A, отвечающая
эндоморфизму (13.18) в базисе B
n
= [ 1, x, ..., x
n
], будет отличаться
от матрицы (12.34) присутствием еще одной (нулевой) строки:
A
(n+1)×(n+1)
=
0 1 0 0 ... 0 0
0 0 2 0 ... 0 0
0 0 0 3 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... n − 1 0
0 0 0 0 ... 0 n
0 0 0 0 ... 0 0
. (13.19)
В пространстве многочленов V = R
n
[x] имеется базис, лишь слег-
ка (наличием скалярных множителей при базисных одночленах) от-
личающийся от естественного базиса B
n
:
B
0
n
= [ 1, x,
x
2
2!
, ... ,
x
n
n!
]. (13.20)
Найдем матрицу A
0
эндоморфизма (13.19) в базисе (13.20). Мат-
рица перехода от B
n
к B
0
n
устроена очень просто: она является
диагональной, причем по диагонали стоят коэффициенты 1/k! (где
k = 0, ..., n). Но в данном примере, невзирая на простоту матри-
цы перехода, использование формулы (13.14) было бы излишеством.
Гораздо легче найти A
0
непосредственно.
В силу того, что при любом k = 1, ..., n мы имеем
µ
x
k
k!
0
=
x
k−1
(k − 1)!
,
для действия оператора (13.19) на новые базисные векторы
b
0
k
=
x
k
k!
(k = 0, 1, ..., n) (13.21)
получаются соотношения
ϕ(b
0
0
) = 0; ϕ(b
0
k
) = b
0
k− 1
(k = 1, ..., n), (13.22)
168   Линейные отображения конечномерных пространств                     Гл. 2

   Если вы усвоили принцип составления матриц для линейных отоб-
ражений, то вам будет легко понять, что матрица A, отвечающая
эндоморфизму (13.18) в базисе Bn = [ 1, x, ..., xn ], будет отличаться
от матрицы (12.34) присутствием еще одной (нулевой) строки:
                                                                  
                      0 1                 0     0    ...    0   0
                   0 0                   2     0    ...    0   0
                                                                  
                   0 0                   0     3    ...    0   0
                                                                  
                   0 0                   0     0    ...    0   0
           A      =                                               .   (13.19)
      (n+1)×(n+1)   ... ...             ...   ...   ...   ... ... 
                                                                  
                   0 0                   0     0    ... n − 1 0 
                                                                  
                      0 0                 0     0    ...    0  n
                      0 0                 0     0    ...    0   0

   В пространстве многочленов V = Rn [x] имеется базис, лишь слег-
ка (наличием скалярных множителей при базисных одночленах) от-
личающийся от естественного базиса Bn :

                                               x2         xn
                         Bn0 = [ 1, x,            , ... ,    ].         (13.20)
                                               2!         n!

  Найдем матрицу A0 эндоморфизма (13.19) в базисе (13.20). Мат-
рица перехода от Bn к Bn0 устроена очень просто: она является
диагональной, причем по диагонали стоят коэффициенты 1/k! (где
k = 0, ..., n). Но в данном примере, невзирая на простоту матри-
цы перехода, использование формулы (13.14) было бы излишеством.
Гораздо легче найти A0 непосредственно.
  В силу того, что при любом k = 1, ..., n мы имеем
                               µ        ¶0
                                   xk           xk−1
                                             =          ,
                                   k!          (k − 1)!

для действия оператора (13.19) на новые базисные векторы

                                 xk
                         b0k   =    (k = 0, 1, ..., n)                  (13.21)
                                 k!
получаются соотношения

                ϕ(b00 ) = 0; ϕ(b0k ) = b0k−1 (k = 1, ..., n),           (13.22)

Страницы