Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

170 Линейные отображения конечномерных пространств Гл. 2
возведением в степень, вплоть до A
n+1
= O, но косвенно он немед-
ленно следует из установленной выше нильпотентности оператора:
ϕ
n+1
= o.
Далее напомним читателям об иной проблематике, связанной с
пространствами многочленов.
В примере 7.2 рассматривались базисы вида [ 1, x − a, ..., (x − a)
n
].
Введем "усовершенствованный" базис
T
(a)
n
= [ 1, x − a,
(x − a)
2
2!
, ... ,
(x − a)
n
n!
], (13.23)
который можно было бы назвать тейлоровским (в силу очевидной
связи с одноименной формулой из математического анализа; см. так-
же [A
1
, п. 47.3]).
Определите, какую матрицу будет иметь оператор дифференци-
рования, заданный на пространстве V = R
n
[x], относительно бази-
са (13.23). [Это даже не упражнение, но очень простой контрольный
вопрос.]
Пример 13.5. Предыдущий пример 13.4 можно (отправляясь не
от л.э., но от квадратной матрицы) трактовать следующим образом:
н.ж.я. J
n+1
(0) "моделируется" с помощью оператора дифференци-
рования, рассматриваемого на пространстве R
n
[x] многочленов сте-
пени не выше n (с действительными коэффициентами).
Допускает ли аналогичную операторную трактовку ж.я. общего
вида J
n+1
(λ
0
) (где λ
0
∈ R)?
Разумеется. Причем в качестве моделирующего оператора снова
можно взять оператор ϕ =
0
. Однако рассматривать его придется
на другом линейном пространстве; а именно — на линейном подпро-
странстве
R
n,λ
0
[x] = e
λ
0
x
R
n
[x] 6 C
∞
(R, R),
состоящем из всевозможных произведений вида e
λ
0
x
f(x) фиксиро-
ванной показательной функции e
λ
0
x
∈ C
∞
(R, R) на произвольный
многочлен f(x) ∈ R
n
[x].
Тот факт, что такие функции в линейном пространстве всех беско-
нечно гладких функций действительно образуют линейное подпро-
странство (причем — инвариантное относительно оператора диффе-
ренцирования) совершенно очевиден.
170   Линейные отображения конечномерных пространств                 Гл. 2

возведением в степень, вплоть до An+1 = O, но косвенно он немед-
ленно следует из установленной выше нильпотентности оператора:
ϕn+1 = o.
  Далее напомним читателям об иной проблематике, связанной с
пространствами многочленов.
  В примере 7.2 рассматривались базисы вида [ 1, x − a, ..., (x − a)n ].
Введем "усовершенствованный" базис

                                     (x − a)2         (x − a)n
               Tn(a)   = [ 1, x − a,          , ... ,          ],   (13.23)
                                        2!               n!

который можно было бы назвать тейлоровским (в силу очевидной
связи с одноименной формулой из математического анализа; см. так-
же [A1 , п. 47.3]).
   Определите, какую матрицу будет иметь оператор дифференци-
рования, заданный на пространстве V = Rn [x], относительно бази-
са (13.23). [Это даже не упражнение, но очень простой контрольный
вопрос.]

   Пример 13.5. Предыдущий пример 13.4 можно (отправляясь не
от л.э., но от квадратной матрицы) трактовать следующим образом:
н.ж.я. Jn+1 (0) "моделируется" с помощью оператора дифференци-
рования, рассматриваемого на пространстве Rn [x] многочленов сте-
пени не выше n (с действительными коэффициентами).
   Допускает ли аналогичную операторную трактовку ж.я. общего
вида Jn+1 (λ0 ) (где λ0 ∈ R)?
   Разумеется. Причем в качестве моделирующего оператора снова
можно взять оператор ϕ = 0 . Однако рассматривать его придется
на другом линейном пространстве; а именно — на линейном подпро-
странстве
                   Rn,λ0 [x] = eλ0 x Rn [x] 6 C ∞ (R, R),

состоящем из всевозможных произведений вида eλ0 x f (x) фиксиро-
ванной показательной функции eλ0 x ∈ C ∞ (R, R) на произвольный
многочлен f (x) ∈ Rn [x].
   Тот факт, что такие функции в линейном пространстве всех беско-
нечно гладких функций действительно образуют линейное подпро-
странство (причем — инвариантное относительно оператора диффе-
ренцирования) совершенно очевиден.

Страницы