Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 172 стр.

172   Линейные отображения конечномерных пространств              Гл. 2

   13.8.∗ Оператор разностного дифференцирования. Начи-
ная с п. 1.6, мы неоднократно обращались к оператору дифференци-
рования как к примеру линейного отображения. Производная f 0 (x)
от функции f (x) определяется с помощью предельного перехода:
                                  f (x + h) − f (x)
                     f 0 (x) = lim                  ;           (13.24)
                              h→0         h
существует она не всегда, и оператор 0 : f (x) 7→ f 0 (x) мы рассматри-
вали на линейном пространстве C 1 (R, R) гладких (непрерывно диф-
ференцируемых) функций. Значениями этого оператора являются
просто непрерывные функции.
   Оператор 0 можно рассматривать также как л.э. пространства
бесконечно гладких функций C ∞ (R, R) или пространства многочле-
нов R[x]. Однако все эти пространства бесконечномерны. И только
рассматривая оператор 0 на (n + 1)-мерном пространстве Rn [x], мы
можем применить к нему методы конечномерной линейной алгебры,
той науки, которую сейчас изучаем.
   Выражение, стоящее в правой части формулы (13.24) под знаком
предела, представляет не меньший интерес, чем его предел (т. е. про-
изводная). Это выражение имеет специальное обозначение
                                     f (x + h) − f (x)
                      ∆h f (x) =                                (13.25)
                                             h
и название — разностная производная. Переменная h входит в него
как параметр.
   Разностная производная ∆h f (x) определена для произвольных
(даже не обязательно — непрерывных) функций. Таким образом,
возникает отображение
      ∆h : F(R, R) −→ F (R, R); f 7→ ∆h (f ); f ∈ F(R, R).      (13.26)
   Выше нам пришлось несколько усложнить обозначения: отобра-
жение ∆h переводит функцию f в новую функцию ∆h (f ), значение
которой на произвольном элементе x ∈ R определяется формулой
(13.25), т. е. ∆h (f ) (x) = ∆h f (x). Такое усложнение, увы, необходи-
мо: нам важно подчеркнуть, что аргументом ∆h служит f , а, уже в
свою очередь, как f , так и ∆h (f ) зависят от переменной x.
   Убедимся в линейности отображения (13.26). Первым делом тре-
буется доказать, что для любых функций f, g ∈ F(R, R) справедливо
свойство
                        ∆h (f + g) = ∆h (f ) + ∆h (g).          (13.27a)